分形維數(shù)簡(jiǎn)介

　　分形維數(shù)被譽(yù)為大自然的幾何學(xué)的分形（Fractal）理論，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支，但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論。分維反映了復(fù)雜形體占有空間的有效性，它是復(fù)雜形體不規(guī)則性的量度。它與動(dòng)力系統(tǒng)的混沌理論交叉結(jié)合，相輔相成。它承認(rèn)世界的局部可能在一定條件下或過(guò)程中，在某一方面（形態(tài)，結(jié)構(gòu)，信息，功能，時(shí)間，能量等）表現(xiàn)出與整體的相似性，它承認(rèn)空間維數(shù)的變化既可以是離散的也可以是連續(xù)的，進(jìn)而拓展了視野。

　　分形維數(shù)原理

　　fractal dimension主要描述分形最主要的參量，簡(jiǎn)稱分維。通常歐幾里德幾何中，直線或曲線是1維的，平面或球面是2維的，具有長(zhǎng)、寬、高的形體是 3 維的；然而對(duì)于分形如海岸線、科赫曲線、謝爾賓斯基海綿等的復(fù)雜性無(wú)法用維數(shù)等于 1、2、3 這樣的數(shù)值來(lái)描述?？坪涨€第一次變換將1英尺的每邊換成3個(gè)各長(zhǎng)4英寸的線段，總長(zhǎng)度變?yōu)?3×4×4/3=16 英寸；每一次變換使總長(zhǎng)度變?yōu)槌艘?/3，如此無(wú)限延續(xù)下去，曲線本身將是無(wú)限長(zhǎng)的。這是一條連續(xù)的回線，永遠(yuǎn)不會(huì)自我相交，回線所圍的面積是有限的，它小于一個(gè)外接圓的面積。因此科赫曲線以它無(wú)限長(zhǎng)度擠在有限的面積之內(nèi)，確實(shí)是占有空間的 ，它比1維要多，但不及2維圖形，也就是說(shuō)它的維數(shù)在1和2之間，維數(shù)是分?jǐn)?shù)。同樣，謝爾賓斯基海綿內(nèi)部全是大大小小的空洞，表面積是無(wú)限大，而占有的 3 維空間是有限的，其維數(shù)在2和3之間。

　　圖像的分形維數(shù)研究與分析

　　1 分形基礎(chǔ)

　　1. 1 分形理論

　　Mandelbrot 曾經(jīng)為分形下過(guò)兩個(gè)定義：（1） D（ A）》d（ A的集合 A，稱為分形集，其中 ，D（ A）為集合A的 Hausdoff 維數(shù)（或分維數(shù)），d（ A）為其拓?fù)渚S數(shù)。一般說(shuō)來(lái) ，D（ A）不是整數(shù)，而是分?jǐn)?shù);（2）部分與整體以某種形式相似的形 ，稱為分形。然而，經(jīng)過(guò)理論和應(yīng)用的檢驗(yàn)，人們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)定義很難包括分形如此豐富的內(nèi)容。實(shí)際上，對(duì)于什么是分形，到目前為止還不能給出一個(gè)確切的定義，人們通常是列出分形的一系列特性來(lái)加以說(shuō)明。 分形特性有：

　?。?）分形集具有精細(xì)的結(jié)構(gòu) ，即有任意小比例的細(xì)節(jié) ;

　?。?）分形集是如此的不規(guī)則以至它的整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言描述 ;

　?。?）分形集通常有某種自相似的性質(zhì) ，可能是近似的或是統(tǒng)計(jì)的 ;

　?。?）一般的 ，分形集的“分形維數(shù)”（以某種方式定義） 大于它的拓?fù)渚S數(shù) ;

　?。?）在大多數(shù)令人感興趣的情形下 ，分形集以非常簡(jiǎn)單的方法定義 ，可能由迭代產(chǎn)生。

　　1. 2 分形維數(shù)

　　在歐幾里德空間 ，所有的物體的維數(shù)都是整數(shù)維的 ，而分形理論則把維數(shù)視為分?jǐn)?shù)。 維數(shù)是分形幾何理論中重要基本概念之一 ，目前已經(jīng)有許多維數(shù)的定義 ，主要包括 Hausdorff 維數(shù)、計(jì)盒維數(shù)（Box2counting dimension） 、修正計(jì)盒維數(shù)、填充維數(shù)等。 在實(shí)際應(yīng)用中 ，通常所說(shuō)的分形維數(shù)都是指計(jì)盒維數(shù) ，而在分形理論應(yīng)用研究中提出的許多維數(shù)的概念都是計(jì)盒維數(shù)的變形。

　　2 分形維數(shù)在圖像分析中的應(yīng)用

　　分形理論在圖像分析中的應(yīng)用是基于以下兩點(diǎn)為基礎(chǔ)的 ：一是自然界中不同種類的形態(tài)物質(zhì)一般具有不同的分維數(shù) ;二是由 A. P. Pentland 的假設(shè) ，自然界中的分形與圖像的灰度表示之間存在著一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系

　　2. 1 分形維數(shù)在圖像分類中的應(yīng)用

　　李厚強(qiáng)等在對(duì)航空遙感圖像進(jìn)行分類時(shí)采用基于分形維數(shù)的方法計(jì)算紋理特征 ，以此來(lái)提取和分析遙感圖像的結(jié)構(gòu)特征 ，并與航空遙感圖像的另一重要特征 ———光譜信息相結(jié)合 ，通過(guò)綜合應(yīng)用紋理信息和光譜信息實(shí)現(xiàn)對(duì)遙感圖像的分析與識(shí)別。 尺度不變性是基于分形的紋理特征的一個(gè)重要特點(diǎn) ，這非常適合遙感圖像分類。 現(xiàn)有的基于分形模型的方法是以分形維數(shù)作為紋理特征 ，在計(jì)算分形維數(shù)時(shí) ，該文章采用 N. Sarkar 和 B. B. Chaudhuri 提出的 DBC（Differential Box Counting） 方法。 其主要思想如下。

　　將 M ×M 大小的圖像分割成 s ×s 的子塊（ M/ 2 Ε s 》 1 ，s 為整數(shù)） ，令 r = s/ M 。 將圖像想象成三維空間中的曲面 ， x ， y 表示平面位置 ， z 軸表示灰度值。 xy 平面被分割成許多s ×s的網(wǎng)格 ，在每個(gè)網(wǎng)格上 ，是一列 s ×s ×s的盒子。 設(shè)圖像灰度在第（ i ， j）網(wǎng)格中的最小值和最大值分別落在第 k 和第 l 個(gè)盒子中 ，則 ：

　　nr （ i ， j） = l - k + 1 （4）

　　是覆蓋第（ i ， j） 網(wǎng)格中的圖像所需的盒子數(shù) ，而覆蓋整個(gè)圖像所需的盒子數(shù) N r 為

　　針對(duì)不同的 r，計(jì)算 N r ，應(yīng)用最小二乘法 ，即可求得分形維數(shù) D. 在實(shí)際應(yīng)用中 ，僅以分形維數(shù)為特征 ，很難達(dá)到好的分類效果 ，于是 ，文章引入“空隙”特征的概念 ，并將高、低灰度圖像變換作為紋理特征之一 ，結(jié)合圖像的色度和飽和度 ，有效地避免了不同材料計(jì)算得出相同分形維數(shù)的情況 ，可以較為準(zhǔn)確的對(duì)航空遙感圖像進(jìn)行分類。

　　基于分形維數(shù)的圖像分類也可以應(yīng)用于圖像壓縮的預(yù)處理 ，基于分形維數(shù)特征 ，將圖像分為不同的區(qū)域 ，而這一分類 ，對(duì)圖像進(jìn)行進(jìn)一步的壓縮編碼具有重要的指導(dǎo)意義。曹文倫等依據(jù)圖像灰度變化的平緩或劇烈程度 ，將圖像分為以下幾類 ：紋理、紋理邊緣、紋理邊緣平滑、邊緣平滑和平滑 ，并且分別計(jì)算以及確定了不同圖像種類的分形維數(shù)區(qū)間。 按照此區(qū)間 ，可以對(duì)待測(cè)圖像基于其分形維數(shù)進(jìn)行分類。 利用分類結(jié)果 ，可以分析以及初步判斷待測(cè)圖像的空間不規(guī)則程度 ，對(duì)在進(jìn)一步進(jìn)行壓縮編碼具有指導(dǎo)意義。 如果一個(gè)物體的表面是分形的 ，則由它產(chǎn)生的圖像灰度表面也具有分形的性質(zhì)。 基于此 ，通過(guò) Keller 的盒維數(shù)算法完成原圖分形維數(shù)的提取。 其主要思想是：令離散灰度圖像 F是一個(gè)在三維空間中的分形曲面 ，長(zhǎng)、寬為 R; Nε（ F） 表示邊長(zhǎng)為ε×ε×ε的包含所要估計(jì)的圖像區(qū)域 ，其分形維數(shù) DB 將由（7） 式?jīng)Q定 ：

　　將 R ，ε帶入（8） 式 ，即可求出灰度圖像 F的盒維數(shù) DB 。 分形維數(shù)可以很好的作為圖像分析與分類的參數(shù) ，該方法所使用的采用分形維數(shù)的圖像分類與人憑借主觀感受對(duì)圖像進(jìn)行的分類相吻合。

　　李杰等在對(duì)待壓縮圖像進(jìn)行預(yù)處理時(shí) ，把標(biāo)準(zhǔn)圖像分為圖像塊 ，通過(guò)計(jì)算其分形維數(shù) ，依據(jù)圖像塊內(nèi)灰度及其變化情況 ，把圖像塊分為 3 類 ：均勻塊、中值塊和邊緣塊 ，不同種類的圖像塊反映了不同的紋理特征。 在對(duì)圖像塊分形維數(shù)特征的計(jì)算中 ，本文采用的是基于形態(tài)算子的毯子覆蓋法計(jì)算圖像塊灰度圖像的分形維數(shù)。 其主要思想是灰度圖像想象成一個(gè)在三維空間中的分形曲面 ，所要估計(jì)的圖像區(qū)域的分形維數(shù) D 將由下面的公式確定

　　式中 A （ r） 為分形曲面的表面積 ， r為度量時(shí)所使用的面積元尺度 ， D為曲面的分形維數(shù) ， F是一常數(shù)。 曲面的表面積求法如下 ：把三維空間中的所有距離曲面表面為 r的點(diǎn) ，用厚度為2 r的毯子覆蓋 ，曲面的表面積就是被覆蓋的體積除以2 r，覆蓋的毯子由曲面的上表面 ur 和下表面 br 來(lái)定義 ：設(shè)曲面上點(diǎn)（ i ， j） 的灰度值為 g（ i ， j） ，取 r = 1 ，2 ，3 ， …， ur ， br 的值為

　　其中點(diǎn)（ m ， n） 是距離點(diǎn)（ i ， j） 不大于 1 的點(diǎn) ，取于點(diǎn)（ i ， j） 的四鄰域。 該毯子的體積為 ：

　　并在 log［ A （ r） ］2log （ r） 坐標(biāo)系中做直線的最小二乘擬合 ，直線的斜率即為圖像的分形維數(shù) D.文中引入了α，β兩個(gè)衍生參數(shù)作為分類辨別參數(shù) ，以此來(lái)集中體現(xiàn)圖像塊的紋理特點(diǎn)。 將待測(cè)圖像塊的分形維數(shù)值與α，β相比較 ，并確定圖像塊的所屬分類 ，依據(jù)分類 ，對(duì)不同的圖像采用不同方式的壓縮編碼。 該方法基本正確的反映了圖像中的紋理分布情況。 針對(duì)圖像塊的紋理分布情況 ，采用不同的壓縮編碼 ，可以得到較好的效果.

　　2. 2 分形維數(shù)在圖像分割中的應(yīng)用

　　薛笑榮等針對(duì) SAR（合成孔徑雷達(dá)） 圖像包含相干斑噪聲 ，導(dǎo)致傳統(tǒng)方法不能很好對(duì)其分割的問(wèn)題 ，考慮將 SAR 圖像的特點(diǎn)和分形理論相結(jié)合 ，從而提出了一種新的 SAR 圖像分割方法。 該方法首先對(duì)原始 SAR 圖像每個(gè)像元為中心取兩種不同窗口 ，計(jì)算在該兩種窗口下基于區(qū)域自選的分形維數(shù)并求均值 ，將其作為分形紋理特征。 然后根據(jù) SAR 圖像噪聲在小波域中的分布特點(diǎn)對(duì) SAR 圖像進(jìn)行濾波 ，最后以 SAR 圖像分形紋理特征和濾波后的灰度組成特征向量對(duì) SAR 圖像進(jìn)行分割。 同樣是針對(duì)嚴(yán)重的噪聲干擾導(dǎo)致傳統(tǒng)方法不能很好的完成圖像分割的問(wèn)題 ，彭復(fù)員等［11 ］提出通過(guò)圖像分形維數(shù)和分形常數(shù)的特征來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)激光水下圖像紋理特征的分割。 該方法利用了毯子覆蓋法 ，并在線性擬合計(jì)算分形維數(shù)（斜率） 的同時(shí)計(jì)算分形常數(shù)（截距） ，然后對(duì)這兩個(gè)數(shù)據(jù)采用局部最佳閾值法 ，進(jìn)行二維直方圖閾值分割。

　　于向軍等針對(duì)路面狀況攝像檢測(cè)過(guò)程中路面裂縫的圖像分割問(wèn)題 ，提出了利用分形理論進(jìn)行圖像分割的方法。 該方法根據(jù)路面裂縫圖像的自相似性 ，通過(guò)對(duì)路面裂縫的分形特征進(jìn)行聚類分析來(lái)識(shí)別圖像的邊緣。 首先計(jì)算圖像的分形維數(shù) D ，然后計(jì)算均值 mean 和方差σ。 通過(guò)以上計(jì)算可以得到一組分別表示裂縫圖像的分形維數(shù)、圖像的平均強(qiáng)度和圖像灰度變化的劇烈程度的特征參數(shù)數(shù)據(jù){ D ， mean σ， }。 最后采用 K2平均法通過(guò)分裂和合并的聚類過(guò)程實(shí)現(xiàn)將數(shù)據(jù)點(diǎn)集{ D ， mean σ， }作為聚類過(guò)程的原始數(shù)據(jù)通過(guò)判定得出聚類結(jié)果 ，這樣每一小塊就對(duì)應(yīng)一個(gè)類別標(biāo)號(hào) ，將這些類別標(biāo)號(hào)還原到它所對(duì)應(yīng)的小子塊上 ，即得分割結(jié)果圖像。 該方法不僅可以提高圖像分割的精度 ，而且顯著的減少了圖像處理的數(shù)據(jù)量和處理時(shí)間。 同樣是針對(duì)分割路面裂縫的方法 ，王華等在差分計(jì)盒方法計(jì)算圖像分形維數(shù)的基礎(chǔ)上 ，提出一種差分計(jì)盒方法的改進(jìn)算法 ，使用該方法計(jì)算路面圖像的分形維數(shù) ，所得的分形維數(shù)可以把簡(jiǎn)單的閾值應(yīng)用到路面裂縫的分割。 該方法將差分計(jì)盒方法計(jì)算中盒子的長(zhǎng)度改為 1/ 2n，首先取圖像中固定大小的像素塊 ，計(jì)算該像素塊的分形維數(shù) ，然后將像素塊在圖像上移動(dòng) ，計(jì)算像素塊覆蓋下的分形維數(shù) ，接著畫出分形維數(shù)的直方圖。 因?yàn)樾∮诰S數(shù) 2 的圖像塊是在紋理的邊沿上 ，所以 ，在分形維數(shù)等于 2 處 ，將直方圖分開(kāi) ，則分形維數(shù)小于 2 的圖像塊就為裂縫的位置 ，從而實(shí)現(xiàn)了路面裂縫的圖像分割。

　　針對(duì)遙感圖像的特征提取與分割 ，鄭桂香等利用雙毯法［15 ］Double Blanket Method） 提取圖像的分形特征并用于分割。首先 ，通過(guò)比較局部分形維數(shù)偏移全局分形維數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差確定適合該方法的最優(yōu)滑動(dòng)窗口。 其次 ，提取出多尺度的特征值并建立分形維數(shù)譜。 然后 ，分析圖像中各區(qū)域的分維譜 ，選擇適當(dāng)尺度的分形特征 ，利用最大似然法對(duì)圖像進(jìn)行分割。 該方法可以顯著的提高遙感圖像的分割精度。 同樣是針對(duì)遙感圖像的分割問(wèn)題 ，陳小梅等［16 ］針對(duì)遙感圖像的分形特點(diǎn) ，采用局部分形維數(shù)進(jìn)行圖像分割。 利用金字塔模型替代了局部分形計(jì)算中的窗口模板 ，從而對(duì)局部三角棱柱面法進(jìn)行了改進(jìn) ，并設(shè)計(jì)了一種新的遞歸計(jì)算流程 ，有效的降低了內(nèi)存存儲(chǔ)量。 該方法提高了基于遙感圖像紋理特征的圖像分割方法的計(jì)算速度 ，同時(shí)保留了三角棱柱面法對(duì)于分形維數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確性。 但是 ，如何解決分維計(jì)算中出現(xiàn)的“邊緣效應(yīng)”，自適應(yīng)確定圖像的自相似尺度范圍以提高圖像的分割精度 ，仍然有待進(jìn)一步研究

　　2. 3 分形維數(shù)在圖像邊緣檢測(cè)中的應(yīng)用

　　張坤華等［17 ］通過(guò)分析 ，得出面積度量的分形參數(shù)系數(shù) k ，并把它作為邊緣檢測(cè)分形特征。 使用地毯覆蓋法計(jì)算分形維數(shù) ，在估計(jì)出表面積 A （ε） 后計(jì)算 k. 該方法引入自適應(yīng)閾值 T = a ·max k （ i ， j） 來(lái)完成邊緣檢測(cè)與提取。 黃寰等［18 ］在針對(duì)加性高斯白噪聲的情況時(shí) ，研究了 H 值小波變換計(jì)算方法。 而對(duì)分形參數(shù)的估計(jì)是首先濾波然后再差分 ，從而平滑和抑制噪聲 ，實(shí)現(xiàn)了有噪圖像的邊緣檢測(cè)。 羅強(qiáng)等［19 ］在進(jìn)行邊緣檢測(cè)時(shí) ，利用圖像的子圖分形結(jié)構(gòu)差異和分形失真度的不同 ，采用自適應(yīng)四叉樹(shù)和鄰近搜索相結(jié)合的方法 ，設(shè)定了分形編碼閾值。 在搜索子塊所對(duì)應(yīng)的最佳匹配父塊的過(guò)程中 ，把與父塊的失真度大于閾值的子塊劃為邊緣 ，通過(guò)零交叉和二值化來(lái)完成圖像的邊緣提取工作。

　　SAR 圖像中包含大量的相干斑 ，且 SAR 圖像內(nèi)容復(fù)雜 ，特別是自然環(huán)境中隨機(jī)變化的因素和復(fù)雜的紋理背景在很大程度上影響了邊緣檢測(cè)的準(zhǔn)確性、適應(yīng)性和實(shí)時(shí)性 ，這使得傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)方法很難取得滿意的效果。 針對(duì)以上問(wèn)題 ，張紅蕾等［20 ］使用多重分形維數(shù)描述圖像的紋理。 首先計(jì)算原始 SAR 圖像離散點(diǎn)數(shù)據(jù)的奇異性指數(shù) ，然后對(duì)應(yīng)每一點(diǎn)奇異性指數(shù)計(jì)算全局多重分形奇異譜 ，最后根據(jù)判決準(zhǔn)則區(qū)分邊緣和紋理從而實(shí)現(xiàn) SAR 圖像的邊緣檢測(cè)。 該方法能夠檢測(cè)到許多局部細(xì)節(jié) ，同時(shí)又避免出現(xiàn)不重要的細(xì)節(jié) ，突出了主要的邊緣信息 ，很好的區(qū)分出 SAR 圖像的紋理和邊緣。 但是 ，如何同時(shí)使用幾個(gè)測(cè)度來(lái)提高圖像邊緣的精度 ，還有待進(jìn)一步研究。

　　3 結(jié) 論

　　自然物體和人工物體的圖像在分形維數(shù)上存在著一定的差異 ，正是這個(gè)差異 ，使得分形理論和技術(shù)在圖像分析中的應(yīng)用成為可能。 盒維、差分盒維、毯子維等方法 ，是目前研究較為充分的方法 ，在很多領(lǐng)域都有著較為廣泛的應(yīng)用。 而結(jié)合小波、形態(tài)學(xué)、模式識(shí)別和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及多重分維計(jì)算等相關(guān)技術(shù) ，是基于分形理論的圖像分析方法的發(fā)展趨勢(shì) ，值得進(jìn)一步關(guān)注和廣泛深入研究。