3. GMM+HMM大法解決語音識別

　　我們獲得observation是語音waveform， 以下是一個詞識別全過程：

　　1）將waveform切成等長frames，對每個frame提取特征（e.g. MFCC），

　　2）對每個frame的特征跑GMM，得到每個frame（o_i）屬于每個狀態(tài)的概率b_state（o_i）

　　fig6. complete process from speech frames to a state sequence

　　3）根據每個單詞的HMM狀態(tài)轉移概率a計算每個狀態(tài)sequence生成該frame的概率; 哪個詞的HMM 序列跑出來概率最大，就判斷這段語音屬于該詞

　　宏觀圖：

　　fig7. Speech recognition， a big framework

　　好了，上面說了怎么做識別。那么我們怎樣訓練這個模型以得到每個GMM的參數和HMM的轉移概率什么的呢？

　?、賂raining the params of GMM

　　GMM參數：高斯分布參數：

　　從上面fig4下面的公式我們已經可以看出來想求參數必須要知道P（j|x），即，x屬于第j個高斯的概率。怎么求捏？

　　fig8. bayesian formula of P（ j | x ）

　　根據上圖 P（j | x）， 我們需要求P（x|j）和P（j）去估計P（j|x）。

　　這里由于P（x|j）和P（j）都不知道，需要用EM算法迭代估計以最大化P（x） = P（x1）*p（x2）*.。.*P（xn）：

　　A. 初始化（可以用kmeans）得到P（j）

　　B. 迭代

　　E（estimate）-step： 根據當前參數 （means， variances， mixing parameters）估計P（j|x）

　　M（maximization）-step： 根據當前P（j|x） 計算GMM參數（根據fig4 下面的公式：）

　　
?其中

　?、赥raining the params of HMM

　　前面已經有了GMM的training過程。在這一步，我們的目標是：從observation序列中估計HMM參數λ；

　　假設狀態(tài)->observation服從單核高斯概率分布：

　　則λ由兩部分組成：

　　HMM訓練過程：迭代

　　E（estimate）-step： 給定observation序列，估計時刻t處于狀態(tài)sj的概率

　　M（maximization）-step： 根據重新估計HMM參數aij.

　　其中，

　　E-step： 給定observation序列，估計時刻t處于狀態(tài)sj的概率

　　為了估計， 定義： t時刻處于狀態(tài)sj的話，t時刻未來observation的概率。即

　　這個可以遞歸計算：β_t（si）=從狀態(tài) si 轉移到其他狀態(tài) sj 的概率aij * 狀態(tài) i 下觀測到x_{t+1}的概率bi（x_{t+1}） * t時刻處于狀態(tài)sj的話{t+1}后observation概率β_{t+1}（sj）

　　即：

　　定義剛才的為state occupation probability，表示給定observation序列，時刻t處于狀態(tài)sj的概率P（S（t）=sj | X，λ） 。根據貝葉斯公式p（A|B，C） = P（A，B|C）/P（B|C），有：

　　由于分子p（A，B|C）為

　　其中，αt（sj）表示HMM在時刻t處于狀態(tài)j，且observation = {x1，。。.，xt}的概率；

　?。?t時刻處于狀態(tài)sj的話，t時刻未來observation的概率；

　　且

　　finally， 帶入的定義式有：

　　好，終于搞定！對應上面的E-step目標，只要給定了observation和當前HMM參數 λ，我們就可以估計了對吧 （*^__^*）

　　M-step：根據重新估計HMM參數λ：

　　對于λ中高斯參數部分，和GMM的M-step是一樣一樣的（只不過這里寫成向量形式）：

　　對于λ中的狀態(tài)轉移概率aij， 定義C（Si->Sj）為從狀態(tài)Si轉到Sj的次數，有

　　實際計算時，定義每一時刻的轉移概率為時刻t從si->sj的概率：

　　那么就有：

　　把HMM的EM迭代過程和要求的參數寫專業(yè)點，就是這樣的：