前面兩篇文章講了離散傅里葉變換的應(yīng)用之一——用FFT分析信號(hào)頻譜，并給出了一道題目。鏈接如下：

數(shù)字信號(hào)處理系列串講第11篇（離散信號(hào)的頻域分析之五）——傅里葉變換的應(yīng)用（1）：FFT分析信號(hào)頻譜（之一）

數(shù)字信號(hào)處理系列串講第12篇（離散信號(hào)的頻域分析之五）——FFT分析信號(hào)頻譜題目解答（補(bǔ)充修訂版）

今天這篇，來(lái)說(shuō)一說(shuō)FFT分析信號(hào)頻譜中一個(gè)重要的概念：頻率分辨率。

分辨率是信號(hào)處理中的基本概念之一，通俗地講，分辨率就是能夠?qū)蓚€(gè)事物分開(kāi)的能力。頻率分辨率就是頻域上能夠?qū)蓚€(gè)不同頻率分量分開(kāi)的能力。

前面說(shuō)了，計(jì)算機(jī)只能處理有限長(zhǎng)的數(shù)據(jù)。無(wú)限長(zhǎng)的單頻信號(hào)的頻譜為一個(gè)沖激，但有限長(zhǎng)（例如長(zhǎng)度為L(zhǎng)）的單頻信號(hào)，頻譜是什么樣子呢？上一篇中已經(jīng)給大家詳細(xì)推導(dǎo)了，寬度為4Π/L（單位：弧度rad）。那么，如果信號(hào)中包含兩個(gè)頻率成分，要能夠把它們分開(kāi)，它們最近能離得多近呢？看下圖：

圖1

注意，上圖中只畫出了主瓣，沒(méi)有畫出旁瓣。上圖中的Δw為數(shù)字域頻率，單位為：弧度rad，再利用數(shù)字域頻率與模擬角頻率的關(guān)系（如果這個(gè)問(wèn)題有疑惑，看如下鏈接：）

數(shù)字信號(hào)處理系列（離散信號(hào)的頻域分析之二）——數(shù)字域頻率與模擬角頻率

得到頻率分辨率為：

圖2

上式中，fs為采樣率，T為采樣間隔，L為截取的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。因此，LT為數(shù)據(jù)時(shí)間長(zhǎng)度（單位：秒），也就是說(shuō)

頻率分辨率為信號(hào)時(shí)長(zhǎng)的倒數(shù)。

這與我們的直觀感受也是一致的，截取的信號(hào)時(shí)間越長(zhǎng)，得到的信息越多，頻率分辨率越高，即Δf的數(shù)值越小，越有可能把離得很近的兩個(gè)頻率分辨開(kāi)。

那么，問(wèn)題來(lái)了，如果L很小，但我給截取后的數(shù)據(jù)補(bǔ)上很多個(gè)零，做一個(gè)比較大點(diǎn)數(shù)的DFT，能提高頻率分辨率嗎？

補(bǔ)零的作用，可以減小將頻譜離散化時(shí)的間隔（提高頻譜離散化的精細(xì)度，因?yàn)镹點(diǎn)DFT就是將頻譜以2Π/N為間隔離散化），可以減小”柵欄效應(yīng)“。但DFT是對(duì)信號(hào)DTFT的抽樣，而補(bǔ)零并不能改變DTFT的結(jié)果，也就是說(shuō)，連續(xù)的頻譜在補(bǔ)零前后是一樣的，因此頻率分辨率也就不會(huì)發(fā)生改變。

另一方面，從信息的角度，直觀上就很容易理解，補(bǔ)零并不增加新的信息，自然也就不會(huì)改善頻率分辨率。

所以說(shuō)，對(duì)L點(diǎn)長(zhǎng)的數(shù)據(jù)做N點(diǎn)DFT，頻率分辨率為：fs/L，而不是fs/N。

但是，在計(jì)算第k根譜線對(duì)應(yīng)的模擬頻率時(shí)，是：kfs/N，而不是kfs/L。

為了區(qū)分，有些教材上，將fs/N稱為“計(jì)算分辨率”，fs/L稱為”物理分辨率“。

我講清楚了嗎？

另外，我們知道，如果采樣率為fs，意味著信號(hào)中最高頻率fh不能超過(guò)fs的一半，即：

fs≥2fh

將上式代入到圖2公式中，得到：

根據(jù)上式，得到：

也就是說(shuō)，若信號(hào)中最高頻率成分為fh，要達(dá)到Δf的頻率分辨率，至少要截取的序列點(diǎn)數(shù)L為2fh/Δf。

注意，上式得到的L，為理論上的最低條件。因?yàn)樯鲜降膶?dǎo)出，是沒(méi)有考慮其他信號(hào)處理措施（如加各種窗），除了矩形窗之外的窗函數(shù)，主瓣會(huì)展寬，而且實(shí)際信號(hào)含有噪聲。因此，實(shí)際信號(hào)處理時(shí)，序列點(diǎn)數(shù)需大于上述條件。

最后，總結(jié)一下重點(diǎn)：

頻率分辨率為信號(hào)時(shí)長(zhǎng)的倒數(shù)。

補(bǔ)零，可以改善“柵欄效應(yīng)”，但不能真正提高信號(hào)的頻率分辨率。