我們?cè)?a target="_blank">示波器上看到的電信號(hào)，是一條電壓隨時(shí)間的變化的線。在任何特定時(shí)刻，信號(hào)只有一個(gè)電壓值，稱之為信號(hào)的時(shí)域表示。示波器的顯示很直觀，但它也有一定的限制性，因?yàn)樗恢苯语@示信號(hào)的頻率內(nèi)容。 與時(shí)域表示相反，頻域表示（也稱為頻譜）通過(guò)識(shí)別同時(shí)存在的各種頻率分量來(lái)傳達(dá)關(guān)于信號(hào)的信息。

正弦波和方波的時(shí)域表示

正弦波和方波的頻域表示 濾波器是一個(gè)電路，其去除或“過(guò)濾掉”特定范圍的頻率分量。換句話說(shuō)，它將信號(hào)的頻譜分離為將要通過(guò)的頻率分量和將被阻塞的頻率分量。 讓我們假設(shè)我們有一個(gè)由完美的5kHz正弦波組成的音頻信號(hào)。我們知道時(shí)域中的正弦波是什么樣的，在頻域中我們只能看到5kHz的頻率“尖峰”。現(xiàn)在讓我們假設(shè)我們激活一個(gè)500kHz振蕩器，將高頻噪聲引入音頻信號(hào)。 在示波器上看到的信號(hào)仍然只是一個(gè)電壓序列，每個(gè)時(shí)刻有一個(gè)值，但信號(hào)看起來(lái)會(huì)有所不同，因?yàn)樗臅r(shí)域變化現(xiàn)在必須反映5kHz正弦波和高頻噪音波動(dòng)。然而，在頻域中，正弦波和噪聲是在該一個(gè)信號(hào)中同時(shí)存在的單獨(dú)的頻率分量。正弦波和噪聲占據(jù)了信號(hào)頻域表示的不同部分（如下圖所示），這意味著我們可以通過(guò)將信號(hào)引導(dǎo)通過(guò)低頻并阻擋高頻的電路來(lái)濾除噪聲。

如果濾波器通過(guò)低頻并阻止高頻，則稱為低通濾波器。如果它阻擋低頻并通過(guò)高頻，它就是一個(gè)高通濾波器。還有帶通濾波器，其僅通過(guò)相對(duì)窄的頻率范圍，以及帶阻濾波器，其僅阻擋相對(duì)窄的頻率范圍。

還可以根據(jù)用于實(shí)現(xiàn)電路的組件類型對(duì)濾波器進(jìn)行分類。無(wú)源濾波器使用電阻、電容、電感。這些組件不具備提供放大的能力，因此無(wú)源濾波器只能維持或減小輸入信號(hào)的幅度。另一方面，有源濾波器既可以濾波信號(hào)又可以應(yīng)用增益，因?yàn)樗ㄓ性丛?，?a target="_blank">晶體管或運(yùn)算放大器。

Sallen-Key拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的有源低通濾波器 為了創(chuàng)建無(wú)源低通濾波器，我們需要將電阻元件與電抗元件組合在一起。換句話說(shuō)，我們需要一個(gè)由電阻器和電容器或電感器組成的電路。從理論上講，電阻-電感（RL）低通拓?fù)湓跒V波能力方面與電阻-電容（RC）低通拓?fù)湎喈?dāng)。但實(shí)際上，電阻-電容版本更為常見(jiàn)，因此本文的其余部分將重點(diǎn)介紹RC低通濾波器。

RC低通濾波器 如圖所示，通過(guò)將一個(gè)電阻與信號(hào)路徑串聯(lián)，并將一個(gè)電容與負(fù)載并聯(lián)，可以產(chǎn)生RC低通響應(yīng)。在圖中，負(fù)載是單個(gè)組件，但在實(shí)際電路中，它可能更復(fù)雜，例如模擬到數(shù)字轉(zhuǎn)換器，放大器或示波器的輸入級(jí)，用于測(cè)量濾波器的響應(yīng)。 如果我們認(rèn)識(shí)到電阻器和電容器形成與頻率相關(guān)的分壓器，我們可以直觀地分析RC低通拓?fù)涞臑V波動(dòng)作。 RC低通濾波器，使其看起來(lái)像分壓器。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率低時(shí)，電容器的阻抗相對(duì)于電阻器的阻抗高。因此，大部分輸入電壓在電容器上（和負(fù)載兩端，與電容器并聯(lián)）下降。當(dāng)輸入頻率較高時(shí)，電容器的阻抗相對(duì)于電阻器的阻抗較低，這意味著電阻器上的電壓降低，并且較少的電壓傳輸?shù)截?fù)載。因此，低頻通過(guò)并且高頻被阻擋。 在上述音頻系統(tǒng)中，我們希望保留5kHz信號(hào)并抑制500kHz信號(hào)。這意味著我們需要一個(gè)過(guò)濾器，從5kHz到500kHz之間的傳遞過(guò)渡到阻塞。 濾波器不會(huì)引起顯著衰減的頻率范圍稱為通帶，濾波器確實(shí)導(dǎo)致顯著衰減的頻率范圍稱為阻帶。模擬濾波器，例如RC低通濾波器，總是從通帶逐漸過(guò)渡到阻帶。這意味著無(wú)法識(shí)別濾波器停止傳遞信號(hào)并開(kāi)始阻塞信號(hào)的一個(gè)頻率。然而，工程師需要簡(jiǎn)潔地總結(jié)濾波器頻率響應(yīng)的方法，這就是截止頻率概念發(fā)揮作用的地方。 當(dāng)我們查看RC濾波器的頻率響應(yīng)圖時(shí)，會(huì)注意到術(shù)語(yǔ)“截止頻率”不是很準(zhǔn)確。信號(hào)光譜被“切割”成兩半的圖像，其中一個(gè)被保留而其中一個(gè)被丟棄，不適用，因?yàn)殡S著頻率從截止點(diǎn)下方移動(dòng)到截止值以上，衰減逐漸增加。 RC低通濾波器的截止頻率實(shí)際上是輸入信號(hào)幅度降低3dB的頻率（選擇該值是因?yàn)榉冉档?dB對(duì)應(yīng)于功率降低50％）。因此，截止頻率也稱為-3dB頻率，實(shí)際上該名稱更準(zhǔn)確且信息量更大。術(shù)語(yǔ)帶寬是指濾波器通帶的寬度，在低通濾波器的情況下，帶寬等于-3dB頻率（如下圖所示）。

如上所述，RC濾波器的低通行為是由電阻器的頻率無(wú)關(guān)阻抗與電容器的頻率相關(guān)阻抗之間的相互作用引起的。為了確定濾波器頻率響應(yīng)的細(xì)節(jié)，我們需要在數(shù)學(xué)上分析電阻（R）和電容（C）之間的關(guān)系，我們還可以改變這些值，以設(shè)計(jì)滿足精確規(guī)格的濾波器。RC低通濾波器的截止頻率（fC）計(jì)算如下：

我們來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)實(shí)例。電容值比電阻值更具限制性，因此我們將從常見(jiàn)的電容值（例如10nF）開(kāi)始，然后我們將使用該公式來(lái)確定所需的電阻值。目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器，它將保留5kHz音頻波形并抑制500kHz噪聲波形。我們將嘗試100kHz的截止頻率，仔細(xì)地分析此濾波器對(duì)兩個(gè)頻率分量的影響。

因此，160Ω電阻與10nF電容相結(jié)合，將為我們提供一個(gè)非常接近所需頻率響應(yīng)的濾波器。 我們可以通過(guò)使用典型分壓器計(jì)算的頻率相關(guān)版本來(lái)計(jì)算低通濾波器的理論行為。電阻分壓器的輸出表示如下：

RC濾波器使用等效結(jié)構(gòu)，但是我們有一個(gè)電容器代替R2。首先，我們用電容器的電抗（XC）代替R2（在分子中）。接下來(lái)，我們需要計(jì)算總阻抗的大小并將其放在分母中。因此，我們有：

電容器的電抗表示與電流的相反量，但與電阻不同，相反量取決于通過(guò)電容器的信號(hào)頻率。因此，我們必須計(jì)算特定頻率的電抗，我們用于此的等式如下：

在上面的設(shè)計(jì)實(shí)例中，R≈160Ω且C=10nF。我們假設(shè)VIN的幅度是1V，這樣我們就可以簡(jiǎn)單地從計(jì)算中去掉VIN。首先讓我們以正弦波頻率計(jì)算VOUT的幅度：

正弦波的幅度基本不變。這很好，因?yàn)槲覀兊哪康氖窃谝种圃胍舻耐瑫r(shí)保持正弦波。這個(gè)結(jié)果并不令人驚訝，因?yàn)槲覀冞x擇的截止頻率（100kHz）遠(yuǎn)高于正弦波頻率（5kHz）。 現(xiàn)在讓我們看看濾波器如何成功衰減噪聲分量。

噪聲幅度僅為其原始值的約20％。 應(yīng)評(píng)估濾波器對(duì)信號(hào)影響的最方便方法是檢查濾波器頻率響應(yīng)的圖。這些圖形通常稱為波德圖，在垂直軸上具有幅度（以分貝為單位），在水平軸上具有頻率。水平軸通常具有指數(shù)標(biāo)度，使得1Hz和10Hz之間的物理距離與10Hz和100Hz之間，100Hz和1kHz之間的物理距離相同。這種表示方法使我們能夠快速準(zhǔn)確地評(píng)估濾波器在很大頻率范圍內(nèi)的作用。

曲線上的每個(gè)點(diǎn)表示如果輸入信號(hào)的幅度為1V且頻率等于水平軸上的相應(yīng)值，則輸出信號(hào)將具有的幅度。例如，當(dāng)輸入頻率為1MHz時(shí)，輸出幅度（假設(shè)輸入幅度為1V）將為0.1V（因?yàn)?20dB對(duì)應(yīng)于十倍減少因子）。 通帶中的曲線幾乎完全平坦，然后隨著輸入頻率接近截止頻率，它開(kāi)始下降得更快。最終，衰減的變化率穩(wěn)定在20dB/decade。即輸入頻率每增加十倍，輸出信號(hào)的幅度降低20dB。 如果我們仔細(xì)繪制我們?cè)诒疚那懊嬖O(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)，我們將看到5kHz時(shí)的幅度響應(yīng)基本上是0dB（即幾乎為零衰減），500kHz時(shí)的幅度響應(yīng)約為-14dB（對(duì)應(yīng)于0.2的增益）。這些值與我們?cè)谏弦还?jié)中執(zhí)行的計(jì)算結(jié)果一致。 由于RC濾波器總是從通帶到阻帶逐漸過(guò)渡，并且因?yàn)樗p永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)到無(wú)窮大，我們無(wú)法設(shè)計(jì)出“完美”的濾波器-即對(duì)正弦波完全沒(méi)有影響并完全消除噪聲的濾波器。相反，我們總是需要權(quán)衡。如果我們將截止頻率移近5kHz，我們將有更多的噪聲衰減，但我們想要發(fā)送到揚(yáng)聲器的正弦波衰減更多。如果我們將截止頻率移近500kHz，我們?cè)谡也l率下的衰減會(huì)減少，但噪聲頻率下的衰減也會(huì)減少。 到目前為止，我們已經(jīng)討論了濾波器修改信號(hào)中各種頻率分量幅度的方式。然而，除了幅度效應(yīng)之外，電抗性電路元件總是引入相移。 相位的概念是指周期內(nèi)特定時(shí)刻的周期信號(hào)的值。因此，當(dāng)我們說(shuō)電路引起相移時(shí)，我們的意思是它會(huì)在輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間產(chǎn)生不對(duì)準(zhǔn)：輸入和輸出信號(hào)不再在同一時(shí)刻開(kāi)始和結(jié)束它們的周期。相移值（例如45°或90°）表示已創(chuàng)建多少未對(duì)準(zhǔn)。 電路中的每個(gè)電抗元件都會(huì)引入90°的相移，但這種相移不會(huì)同時(shí)發(fā)生。輸出信號(hào)的相位與輸出信號(hào)的幅度一樣，隨著輸入頻率的增加而逐漸變化。在RC低通濾波器中，我們有一個(gè)電抗元件（電容器），因此電路最終會(huì)引入90°的相移。 與幅度響應(yīng)一樣，通過(guò)檢查水平軸表示指數(shù)頻率的曲線圖，可以最容易地評(píng)估相位響應(yīng)。下面描述了一般情況，然后我們可以通過(guò)檢查繪圖來(lái)填寫(xiě)詳細(xì)信息。 相移最初為0°。它逐漸增加，直到它在截止頻率達(dá)到45°。在這部分響應(yīng)期間，變化率正在增加。 在截止頻率之后，相移繼續(xù)增加，但變化率正在降低。隨著相移漸近接近90°，變化率變得非常小。

實(shí)線是幅度響應(yīng)，虛線是相位響應(yīng) 截止頻率為100kHz。注意，截止頻率下的相移為45° 到目前為止，我們假設(shè)RC低通濾波器由一個(gè)電阻器和一個(gè)電容器組成。此配置是一階過(guò)濾器。 無(wú)源濾波器的“次序”由電路中存在的電抗元件（即電容器或電感器）的數(shù)量決定。高階濾波器具有更多的無(wú)源器件，這導(dǎo)致更多的相移和更陡的衰減。通過(guò)向?yàn)V波器添加一個(gè)電抗元件，例如，從一階到二階或二階到三階，最大斜率就會(huì)增加20dB/十倍。更陡峭的斜率轉(zhuǎn)換為從低衰減到高衰減的更快速轉(zhuǎn)換，所以當(dāng)一階濾波器不具有將期望頻率分量與噪聲分量分離的寬頻帶時(shí)，用多階濾波器可以實(shí)現(xiàn)目的。 濾波器是以不同方式對(duì)信號(hào)頻譜的不同部分作出反應(yīng)的電路。低通濾波器旨在傳遞低頻分量并阻止高頻分量。 低通濾波器的截止頻率表示濾波器從低衰減轉(zhuǎn)變?yōu)轱@著衰減的頻率區(qū)域。 RC低通濾波器的輸出電壓可以通過(guò)將電路視為由（頻率無(wú)關(guān)）電阻和（頻率相關(guān)）電抗組成的分壓器來(lái)計(jì)算。 幅度（以dB為單位，在垂直軸上）與頻率（以赫茲為單位，在水平軸上）的曲線圖是檢查濾波器理論行為的方便有效的方法。我們還可以使用相位與指數(shù)頻率的關(guān)系圖來(lái)確定將應(yīng)用于輸入信號(hào)的相移量。 二階濾波器提供更陡峭的衰減。當(dāng)信號(hào)不能在所需頻率分量和不需要的頻率分量之間提供寬帶分離時(shí)，這種二階響應(yīng)是有用的。