本文將使用經(jīng)典力學(xué)的概念來推導(dǎo)質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)使我們能夠描述檢驗(yàn)質(zhì)量如何響應(yīng)外部加速度而移動(dòng)。在解釋加速度計(jì)的不同參數(shù)（例如傳感器線性工作范圍和帶寬規(guī)范）時(shí)，將在本系列的后續(xù)文章中使用派生的傳遞函數(shù)。

然而，在嘗試推導(dǎo)傳感器傳遞函數(shù)之前，讓我們簡(jiǎn)要介紹一下微機(jī)電系統(tǒng) （MEMS） 技術(shù)，它使當(dāng)今的小型、低成本慣性傳感器成為可能。

MEMS 加速度計(jì)：使用質(zhì)量彈簧阻尼結(jié)構(gòu)測(cè)量加速度

用于感測(cè)加速度的質(zhì)量-彈簧-阻尼器結(jié)構(gòu)如圖 1 所示。

MEMS 技術(shù)使我們能夠在同一個(gè)硅芯片上實(shí)現(xiàn)該機(jī)械系統(tǒng)的一個(gè)非常小的版本以及所需的信號(hào)調(diào)理電子設(shè)備，從而獲得完整的傳感解決方案。

圖 1. 質(zhì)量-彈簧-阻尼器結(jié)構(gòu)。

MEMS 技術(shù)借鑒了微電子行業(yè)的基于光刻技術(shù)的微制造技術(shù)，并將它們與其他專業(yè)制造技術(shù)相結(jié)合，從而能夠在硅芯片上創(chuàng)建可移動(dòng)部件。

微制造技術(shù)的進(jìn)步幫助實(shí)現(xiàn)了當(dāng)今小型、低成本的微機(jī)械加速度計(jì)，圖 2 中顯示了一個(gè)示例。

圖 2. CMOS MEMS 加速度計(jì)的掃描電子顯微照片 （SEM）。圖片由K. Zhang提供

在上一篇文章中，我們簡(jiǎn)要提到了阻尼器在加速度計(jì)的運(yùn)行中起著至關(guān)重要的作用?，F(xiàn)在是在嘗試推導(dǎo)質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)之前更熟悉系統(tǒng)的這一重要部分的好時(shí)機(jī)。

MEMS加速度計(jì)中的阻尼機(jī)制

阻尼器模擬耗散力，這些耗散力會(huì)降低質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的機(jī)械能并減慢檢測(cè)質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)。

MEMS 加速度計(jì)中的主要阻尼機(jī)制之一是運(yùn)動(dòng)質(zhì)量與周圍空氣分子之間發(fā)生的內(nèi)摩擦。事實(shí)上，可以在極低的壓力下封裝基于 MEMS 的加速度計(jì)，以減少空氣阻尼的影響。然而，一般來說，空氣阻尼是 MEMS 加速度計(jì)能量損失的主要來源。

其他常見的阻尼源是結(jié)構(gòu)阻尼和熱阻尼。

結(jié)構(gòu)阻尼考慮了由MEMS器件中使用的組件結(jié)構(gòu)引起的能量損失。

熱阻尼對(duì)應(yīng)于MEMS結(jié)構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系隨溫度變化的偏差。阻尼器施加在質(zhì)量塊上的總減速力通常被建模為與質(zhì)量塊的速度成比例的力。

該力作用于與質(zhì)量運(yùn)動(dòng)相反的方向，由下式給出：

其中 b 表示阻尼系數(shù)，v 表示質(zhì)量塊的速度。

請(qǐng)注意，當(dāng)物體非常小時(shí)，空氣阻力與物體的速度成正比，微加工結(jié)構(gòu)就是這種情況。

一般來說，空氣阻力與 物體的速度有著復(fù)雜的關(guān)系。例如，一個(gè)大型物體，例如在空中移動(dòng)的跳傘運(yùn)動(dòng)員，會(huì)受到與物體速度的平方成正比的阻力。

阻尼效應(yīng)：想要的還是令人討厭的？

由于阻尼源于耗散力，因此它可能看起來是一種應(yīng)避免的麻煩。事實(shí)上，許多 MEMS 加速度計(jì)被設(shè)計(jì)成只有少量的阻尼（以降低系統(tǒng)的噪聲）。

但需要注意的是，理想的沒有阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)振蕩器，不能用作加速度計(jì)。

如果我們將“理想”彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)量從平衡中移出然后釋放它，即使沒有對(duì)系統(tǒng)施加外部加速度，質(zhì)量也會(huì)永遠(yuǎn)來回移動(dòng)。這就是為什么對(duì)于加速度計(jì)，我們需要在我們的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中引入至少少量的阻尼。

使用牛頓運(yùn)動(dòng)定律證明質(zhì)量位移

假設(shè)，如圖 3 所示，外力施加到傳感器框架上。

圖 3. 對(duì)外力作出反應(yīng)的質(zhì)量-彈簧-阻尼結(jié)構(gòu)傳感器框架。

為了根據(jù)施加的加速度計(jì)算質(zhì)量塊位移，我們使用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律。正如您可能知道的那樣，該定律指出，由合力產(chǎn)生的物體的加速度與合力的大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比。

這由以下熟悉的等式表示：

其中 F 是施加在物體上的凈力，m 是物體的質(zhì)量，a 表示加速度。

為了將這個(gè)方程正確地應(yīng)用到我們的系統(tǒng)中，這里應(yīng)該注意一個(gè)微妙的點(diǎn)。牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律僅適用于慣性坐標(biāo)系，即不加速的坐標(biāo)系。

圖 3 描繪了我們的加速度計(jì)的兩個(gè)不同坐標(biāo)系。橙色坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)于解決物理問題時(shí)假定為慣性的地球參考系。

然而，品紅色坐標(biāo)系表示固定到傳感器框架的參考框架。

該坐標(biāo)系是非慣性的，因?yàn)楫?dāng)外力施加到傳感器時(shí)它會(huì)加速。因此，要找到質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)方程，我們應(yīng)該使用慣性參考系（橙色坐標(biāo)系）。

什么力量作用于證明質(zhì)量？

圖 4.通過 電容感應(yīng)測(cè)量質(zhì)量塊位移的設(shè)置。有關(guān)更多信息，請(qǐng)查看該系列的上一篇文章。

為了用質(zhì)量塊位移來表示公式 4，我們需要使用圖 3 中洋紅色坐標(biāo)系所示的移動(dòng)參考系。我們使用小寫字母 x 和 y 表示該坐標(biāo)系。

例如，如果傳感器幀加速度突然從零變?yōu)橛邢拗担A躍輸入），則系統(tǒng)的輸出將接近其最終值，并具有由系統(tǒng)參數(shù)確定的時(shí)間響應(yīng)特性。

圖 5 顯示了改變系統(tǒng)參數(shù)如何改變輸出的振鈴和穩(wěn)定時(shí)間。在我們的討論中，輸出是驗(yàn)證質(zhì)量位移。

圖 5.二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)會(huì)根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)的值發(fā)生顯著變化。圖片由麻省理工學(xué)院的 David L. Trumper 提供