很多讀者留言說要看「圖」相關(guān)的算法，那就滿足大家，結(jié)合算法題把圖相關(guān)的技巧給大家過一遍。

前文 學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的框架思維 說了，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)相關(guān)的算法無非兩點(diǎn)：遍歷 + 訪問。那么圖的基本遍歷方法也很簡(jiǎn)單，前文 圖算法基礎(chǔ) 就講了如何從多叉樹的遍歷框架擴(kuò)展到圖的遍歷。

圖這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)還有一些比較特殊的算法，比如二分圖判斷，有環(huán)圖無環(huán)圖的判斷，拓?fù)渑判颍约白罱?jīng)典的最小生成樹，單源最短路徑問題，更難的就是類似網(wǎng)絡(luò)流這樣的問題。

不過以我的經(jīng)驗(yàn)?zāi)?，像網(wǎng)絡(luò)流這種問題，你又不是打競(jìng)賽的，除非自己特別有興趣，否則就沒必要學(xué)了；像最小生成樹和最短路徑問題，雖然從刷題的角度用到的不多，但它們屬于經(jīng)典算法，學(xué)有余力可以掌握一下；像拓?fù)渑判蜻@一類，屬于比較基本且有用的算法，應(yīng)該比較熟練地掌握。

那么本文就結(jié)合具體的算法題，來說說拓?fù)渑判蛩惴ㄔ?，因?yàn)橥負(fù)渑判虻膶?duì)象是有向無環(huán)圖，所以順帶說一下如何判斷圖是否有環(huán)。

判斷有向圖是否存在環(huán)

函數(shù)簽名如下：

int［］ findOrder（int numCourses， int［］［］ prerequisites）;

題目應(yīng)該不難理解，什么時(shí)候無法修完所有課程？當(dāng)存在循環(huán)依賴的時(shí)候。

其實(shí)這種場(chǎng)景在現(xiàn)實(shí)生活中也十分常見，比如我們寫代碼 import 包也是一個(gè)例子，必須合理設(shè)計(jì)代碼目錄結(jié)構(gòu)，否則會(huì)出現(xiàn)循環(huán)依賴，編譯器會(huì)報(bào)錯(cuò)，所以編譯器實(shí)際上也使用了類似算法來判斷你的代碼是否能夠成功編譯。

看到依賴問題，首先想到的就是把問題轉(zhuǎn)化成「有向圖」這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，只要圖中存在環(huán)，那就說明存在循環(huán)依賴。

具體來說，我們首先可以把課程看成「有向圖」中的節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)編號(hào)分別是0， 1， ...， numCourses-1，把課程之間的依賴關(guān)系看做節(jié)點(diǎn)之間的有向邊。

比如說必須修完課程1才能去修課程3，那么就有一條有向邊從節(jié)點(diǎn)1指向3。

所以我們可以根據(jù)題目輸入的prerequisites數(shù)組生成一幅類似這樣的圖：

如果發(fā)現(xiàn)這幅有向圖中存在環(huán)，那就說明課程之間存在循環(huán)依賴，肯定沒辦法全部上完；反之，如果沒有環(huán)，那么肯定能上完全部課程。

好，那么想解決這個(gè)問題，首先我們要把題目的輸入轉(zhuǎn)化成一幅有向圖，然后再判斷圖中是否存在環(huán)。

如何轉(zhuǎn)換成圖呢？我們前文 圖論基礎(chǔ) 寫過圖的兩種存儲(chǔ)形式，鄰接矩陣和鄰接表。

以我刷題的經(jīng)驗(yàn)，常見的存儲(chǔ)方式是使用鄰接表，比如下面這種結(jié)構(gòu)：

List《Integer》［］ graph;

graph［s］是一個(gè)列表，存儲(chǔ)著節(jié)點(diǎn)s所指向的節(jié)點(diǎn)。

所以我們首先可以寫一個(gè)建圖函數(shù)：

List《Integer》［］ buildGraph（int numCourses， int［］［］ prerequisites） {

// 圖中共有 numCourses 個(gè)節(jié)點(diǎn)

List《Integer》［］ graph = new LinkedList［numCourses］;

for （int i = 0; i 《 numCourses; i++） {

graph［i］ = new LinkedList《》（）;

}

for （int［］ edge ： prerequisites） {

int from = edge［1］;

int to = edge［0］;

// 修完課程 from 才能修課程 to

// 在圖中添加一條從 from 指向 to 的有向邊

graph［from］.add（to）;

}

return graph;

}

圖建出來了，怎么判斷圖中有沒有環(huán)呢？

先不要急，我們先來思考如何遍歷這幅圖，只要會(huì)遍歷，就可以判斷圖中是否存在環(huán)了。

前文 圖論基礎(chǔ) 寫了 DFS 算法遍歷圖的框架，無非就是從多叉樹遍歷框架擴(kuò)展出來的，加了個(gè)visited數(shù)組罷了：

// 防止重復(fù)遍歷同一個(gè)節(jié)點(diǎn)boolean［］ visited;

// 從節(jié)點(diǎn) s 開始 BFS 遍歷，將遍歷過的節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為 truevoid traverse（List《Integer》［］ graph， int s） {

if （visited［s］） {

return;

}

/* 前序遍歷代碼位置 */

// 將當(dāng)前節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為已遍歷

visited［s］ = true;

for （int t ： graph［s］） {

traverse（graph， t）;

}

/* 后序遍歷代碼位置 */

}

那么我們就可以直接套用這個(gè)遍歷代碼：

// 防止重復(fù)遍歷同一個(gè)節(jié)點(diǎn)boolean［］ visited;

boolean canFinish（int numCourses， int［］［］ prerequisites） {

List《Integer》［］ graph = buildGraph（numCourses， prerequisites）;

visited = new boolean［numCourses］;

for （int i = 0; i 《 numCourses; i++） {

traverse（graph， i）;

}

}

void traverse（List《Integer》［］ graph， int s） {

// 代碼見上文

}

注意圖中并不是所有節(jié)點(diǎn)都相連，所以要用一個(gè) for 循環(huán)將所有節(jié)點(diǎn)都作為起點(diǎn)調(diào)用一次 DFS 搜索算法。

這樣，就能遍歷這幅圖中的所有節(jié)點(diǎn)了，你打印一下visited數(shù)組，應(yīng)該全是 true。

前文 學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法的框架思維 說過，圖的遍歷和遍歷多叉樹差不多，所以到這里你應(yīng)該都能很容易理解。

那么如何判斷這幅圖中是否存在環(huán)呢？

我們前文 回溯算法核心套路詳解 說過，你可以把遞歸函數(shù)看成一個(gè)在遞歸樹上游走的指針，這里也是類似的：

你也可以把traverse看做在圖中節(jié)點(diǎn)上游走的指針，只需要再添加一個(gè)布爾數(shù)組onPath記錄當(dāng)前traverse經(jīng)過的路徑：

boolean［］ onPath;

boolean hasCycle = false;

boolean［］ visited;

void traverse（List《Integer》［］ graph， int s） {

if （onPath［s］） {

// 發(fā)現(xiàn)環(huán)！?。?/p>

hasCycle = true;

}

if （visited［s］） {

return;

}

// 將節(jié)點(diǎn) s 標(biāo)記為已遍歷

visited［s］ = true;

// 開始遍歷節(jié)點(diǎn) s

onPath［s］ = true;

for （int t ： graph［s］） {

traverse（graph， t）;

}

// 節(jié)點(diǎn) s 遍歷完成

onPath［s］ = false;

}

這里就有點(diǎn)回溯算法的味道了，在進(jìn)入節(jié)點(diǎn)s的時(shí)候?qū)nPath［s］標(biāo)記為 true，離開時(shí)標(biāo)記回 false，如果發(fā)現(xiàn)onPath［s］已經(jīng)被標(biāo)記，說明出現(xiàn)了環(huán)。

PS：參考貪吃蛇沒繞過彎兒咬到自己的場(chǎng)景。

這樣，就可以在遍歷圖的過程中順便判斷是否存在環(huán)了，完整代碼如下：

// 記錄一次 traverse 遞歸經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)boolean［］ onPath;

// 記錄遍歷過的節(jié)點(diǎn)，防止走回頭路boolean［］ visited;

// 記錄圖中是否有環(huán)boolean hasCycle = false;

boolean canFinish（int numCourses， int［］［］ prerequisites） {

List《Integer》［］ graph = buildGraph（numCourses， prerequisites）;

visited = new boolean［numCourses］;

onPath = new boolean［numCourses］;

for （int i = 0; i 《 numCourses; i++） {

// 遍歷圖中的所有節(jié)點(diǎn)

traverse（graph， i）;

}

// 只要沒有循環(huán)依賴可以完成所有課程

return ！hasCycle;

}

void traverse（List《Integer》［］ graph， int s） {

if （onPath［s］） {

// 出現(xiàn)環(huán)

hasCycle = true;

}

if （visited［s］ || hasCycle） {

// 如果已經(jīng)找到了環(huán)，也不用再遍歷了

return;

}

// 前序遍歷代碼位置

visited［s］ = true;

onPath［s］ = true;

for （int t ： graph［s］） {

traverse（graph， t）;

}

// 后序遍歷代碼位置

onPath［s］ = false;

}

List《Integer》［］ buildGraph（int numCourses， int［］［］ prerequisites） {

// 代碼見前文

}

這道題就解決了，核心就是判斷一幅有向圖中是否存在環(huán)。

不過如果出題人繼續(xù)惡心你，讓你不僅要判斷是否存在環(huán)，還要返回這個(gè)環(huán)具體有哪些節(jié)點(diǎn)，怎么辦？

你可能說，onPath里面為 true 的索引，不就是組成環(huán)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)嗎？

不是的，假設(shè)下圖中綠色的節(jié)點(diǎn)是遞歸的路徑，它們?cè)趏nPath中的值都是 true，但顯然成環(huán)的節(jié)點(diǎn)只是其中的一部分：

那么接下來，我們來再講一個(gè)經(jīng)典的圖算法：拓?fù)渑判颉?/p>

拓?fù)渑判?/p>

這道題就是上道題的進(jìn)階版，不是僅僅讓你判斷是否可以完成所有課程，而是進(jìn)一步讓你返回一個(gè)合理的上課順序，保證開始修每個(gè)課程時(shí)，前置的課程都已經(jīng)修完。

函數(shù)簽名如下：

int［］ findOrder（int numCourses， int［］［］ prerequisites）;

這里我先說一下拓?fù)渑判颍═opological Sorting）這個(gè)名詞，網(wǎng)上搜出來的定義很數(shù)學(xué)，這里干脆用百度百科的一幅圖來讓你直觀地感受下

直觀地說就是，讓你把一幅圖「拉平」，而且這個(gè)「拉平」的圖里面，所有箭頭方向都是一致的，比如上圖所有箭頭都是朝右的。

很顯然，如果一幅有向圖中存在環(huán)，是無法進(jìn)行拓?fù)渑判虻模驗(yàn)榭隙ㄗ霾坏剿屑^方向一致；反過來，如果一幅圖是「有向無環(huán)圖」，那么一定可以進(jìn)行拓?fù)渑判颉?/p>

但是我們這道題和拓?fù)渑判蛴惺裁搓P(guān)系呢？

其實(shí)也不難看出來，如果把課程抽象成節(jié)點(diǎn)，課程之間的依賴關(guān)系抽象成有向邊，那么這幅圖的拓?fù)渑判蚪Y(jié)果就是上課順序。

首先，我們先判斷一下題目輸入的課程依賴是否成環(huán)，成環(huán)的話是無法進(jìn)行拓?fù)渑判虻?，所以我們可以?fù)用上一道題的主函數(shù)：

public int［］ findOrder（int numCourses， int［］［］ prerequisites） {

if （！canFinish（numCourses， prerequisites）） {

// 不可能完成所有課程

return new int［］{};

}

// 。..

}

PS：簡(jiǎn)單起見，canFinish 直接復(fù)用了之前實(shí)現(xiàn)的函數(shù)，但實(shí)際上可以把環(huán)檢測(cè)的邏輯和拓?fù)渑判虻倪壿嫿Y(jié)合起來，同時(shí)在 traverse 函數(shù)里完成，這個(gè)可以留給大家自己去實(shí)現(xiàn)。

那么關(guān)鍵問題來了，如何進(jìn)行拓?fù)渑判颍渴遣皇怯忠闶裁锤叽笊系募记闪耍?/p>

其實(shí)特別簡(jiǎn)單，將后序遍歷的結(jié)果進(jìn)行反轉(zhuǎn)，就是拓?fù)渑判虻慕Y(jié)果。

直接看解法代碼：

boolean［］ visited;

// 記錄后序遍歷結(jié)果

List《Integer》 postorder = new ArrayList《》（）;

int［］ findOrder（int numCourses， int［］［］ prerequisites） {

// 先保證圖中無環(huán)

if （！canFinish（numCourses， prerequisites）） {

return new int［］{};

}

// 建圖

List《Integer》［］ graph = buildGraph（numCourses， prerequisites）;

// 進(jìn)行 DFS 遍歷

visited = new boolean［numCourses］;

for （int i = 0; i 《 numCourses; i++） {

traverse（graph， i）;

}

// 將后序遍歷結(jié)果反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化成 int［］ 類型

Collections.reverse（postorder）;

int［］ res = new int［numCourses］;

for （int i = 0; i 《 numCourses; i++） {

res［i］ = postorder.get（i）;

}

return res;

}

void traverse（List《Integer》［］ graph， int s） {

if （visited［s］） {

return;

}

visited［s］ = true;

for （int t ： graph［s］） {

traverse（graph， t）;

}

// 后序遍歷位置

postorder.add（s）;

}

// 參考上一題的解法boolean canFinish（int numCourses， int［］［］ prerequisites）;

// 參考前文代碼

List《Integer》［］ buildGraph（int numCourses， int［］［］ prerequisites）;

代碼雖然看起來多，但是邏輯應(yīng)該是很清楚的，只要圖中無環(huán)，那么我們就調(diào)用traverse函數(shù)對(duì)圖進(jìn)行 BFS 遍歷，記錄后序遍歷結(jié)果，最后把后序遍歷結(jié)果反轉(zhuǎn)，作為最終的答案。

那么為什么后序遍歷的反轉(zhuǎn)結(jié)果就是拓?fù)渑判蚰兀?/p>

我這里也避免數(shù)學(xué)證明，用一個(gè)直觀地例子來解釋，我們就說二叉樹，這是我們說過很多次的二叉樹遍歷框架：

void traverse（TreeNode root） {

// 前序遍歷代碼位置

traverse（root.left）

// 中序遍歷代碼位置

traverse（root.right）

// 后序遍歷代碼位置

}

二叉樹的后序遍歷是什么時(shí)候？遍歷完左右子樹之后才會(huì)執(zhí)行后序遍歷位置的代碼。換句話說，當(dāng)左右子樹的節(jié)點(diǎn)都被裝到結(jié)果列表里面了，根節(jié)點(diǎn)才會(huì)被裝進(jìn)去。

后序遍歷的這一特點(diǎn)很重要，之所以拓?fù)渑判虻幕A(chǔ)是后序遍歷，是因?yàn)橐粋€(gè)任務(wù)必須在等到所有的依賴任務(wù)都完成之后才能開始開始執(zhí)行。

你把每個(gè)任務(wù)理解成二叉樹里面的節(jié)點(diǎn)，這個(gè)任務(wù)所依賴的任務(wù)理解成子節(jié)點(diǎn)，那你是不是應(yīng)該先把所有子節(jié)點(diǎn)處理完再處理父節(jié)點(diǎn)？這是不是就是后序遍歷？

下圖是一個(gè)二叉樹的后序遍歷結(jié)果：

結(jié)合這個(gè)圖說一說為什么還要把后序遍歷結(jié)果反轉(zhuǎn)，才是最終的拓?fù)渑判蚪Y(jié)果。

我們說一個(gè)節(jié)點(diǎn)可以理解為一個(gè)任務(wù)，這個(gè)節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)理解為這個(gè)任務(wù)的依賴，但你注意我們之前說的依賴關(guān)系的表示：如果做完A才能去做B，那么就有一條從A指向B的有向邊，表示B依賴A。

那么，父節(jié)點(diǎn)依賴子節(jié)點(diǎn)，體現(xiàn)在二叉樹里面應(yīng)該是這樣的

是不是和我們正常的二叉樹指針指向反過來了？所以正常的后序遍歷結(jié)果應(yīng)該進(jìn)行反轉(zhuǎn)，才是拓?fù)渑判虻慕Y(jié)果。

以上，我簡(jiǎn)單解釋了一下為什么「拓?fù)渑判虻慕Y(jié)果就是反轉(zhuǎn)之后的后序遍歷結(jié)果」，當(dāng)然，我的解釋雖然比較直觀，但并沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，有興趣的讀者可以自己查一下。

總之，你記住拓?fù)渑判蚓褪呛笮虮闅v反轉(zhuǎn)之后的結(jié)果，且拓?fù)渑判蛑荒茚槍?duì)有向無環(huán)圖，進(jìn)行拓?fù)渑判蛑耙M(jìn)行環(huán)檢測(cè)，這些知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)足夠了。

責(zé)任編輯：haq