本文作者maxfiner，畢業(yè)于西安電子科技大學(xué)，擁有信號與信息處理專業(yè)碩士學(xué)位。maxfiner曾供職于華為通信技術(shù)公司無線通信部門，擁有多年的工程項(xiàng)目研發(fā)經(jīng)驗(yàn)，同時兼?zhèn)?a target="_blank">算法理論研究，仿真驗(yàn)證，以及對應(yīng)的硬件設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)能力；具備通信物理層開發(fā)設(shè)計(jì)各個方面的實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)...

　　相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用很廣，比如噪聲中信號的檢測，信號中隱含周期性的檢測，信號時延長度的測量等等。這一節(jié)專門討論利用自相關(guān)函數(shù)檢測淹沒在噪聲下的周期性信號。

　　一個信號，由于噪聲的影響，從波形上看，已經(jīng)面目全非，雜亂不堪。如下圖所示：

　　基于信號的自相關(guān)累積可以檢測是否有周期信號的存在，這是基于幾個前提：

　　第一，通常把噪聲都看作加性的白噪聲對待，因?yàn)檫@種噪聲從理論上便于分析和處理。而白噪聲的自相關(guān)函數(shù)有著非常獨(dú)特的個性，就是自相關(guān)函數(shù)只在時有一定的數(shù)值，在則為零值。這是白噪聲本身的完全隨機(jī)性決定的。也正是基于這個性質(zhì)，我們才有可能從強(qiáng)噪聲背景中提取出我們感興趣的信號。

　　第二，周期信號的自相關(guān)函數(shù)，仍是周期函數(shù)，并且周期和原函數(shù)周期相同。這從自相關(guān)函數(shù)的定義可以很容易推導(dǎo)出來。

　　第三，白噪聲和周期信號完全不相關(guān)，白噪聲的完全隨機(jī)性導(dǎo)致它和任何函數(shù)都不相關(guān)戀。它們之間的互相關(guān)函數(shù)可認(rèn)為是零。這是很多理論推導(dǎo)的一個前提。

　　基于自相關(guān)函數(shù)的定義，我們可以從公式上做一下簡單的推導(dǎo)，看看添加了噪聲后的信號的自相關(guān)函數(shù)到底是什么樣子。假定我們的信號為，白噪聲信號為，則添加了白噪聲的信號為。

　　那么，基于上面的三個前提，我們可以把的自相關(guān)函數(shù)表示成如下的形式。公式推導(dǎo)看上去很麻煩，其實(shí)一步一步都有嚴(yán)格的規(guī)律和理由，認(rèn)真觀察和分析，可以增進(jìn)對自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)的理解，也可以加強(qiáng)公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)能力。

也就是說，

　　理論公式非常嚴(yán)密但不直觀。還是找個實(shí)際例子驗(yàn)證下吧。構(gòu)造一個正弦波周期信號和白噪聲信號，看看它們疊加后的信號的自相關(guān)函數(shù)到底是個什么樣子。

　　自相關(guān)函數(shù)在0位置是一個相對較大的數(shù)值，這是白噪聲自身相關(guān)累積導(dǎo)致的。在非零位置，則完全由周期信號來決定了。

　　相應(yīng)的matlab仿真驗(yàn)證代碼如下，

　　fs = 5e3;

　　n = 0:1/fs:1;

　　len = length（n）;

　　freq = 100;

　　s = sin（2*pi*freq*n）;

　　n = randn（1，len）;

　　x = s + n;

　　rr = xcorr（x，‘unbiased’）;

　　figure，subplot（121），plot（x）;title（‘D?o?ê±óòμ?2¨D?’）;

　　subplot（122），plot（rr）;title（‘D?o?μ?×??à1?oˉêyμ?2¨D?’）;

　　值得說明的是，相關(guān)函數(shù)采用matlab工具箱提供的函數(shù)xcorr，它有兩種計(jì)算方式，一種叫“biased”，即有偏的。一種叫“unbiased”，即無偏的。這是由于實(shí)際計(jì)算相關(guān)函數(shù)時，實(shí)際數(shù)據(jù)的長度總是有限的，那么隨著相關(guān)函數(shù)中m的增大，相關(guān)累積求和的樣點(diǎn)數(shù)是逐漸減小的，當(dāng)采用上面提到的自相關(guān)函數(shù)計(jì)算公式時，統(tǒng)一都除以N，導(dǎo)致相關(guān)函數(shù)隨著m的增大會線性減，這就是有偏的計(jì)算方式，意思是計(jì)算值的統(tǒng)計(jì)上的均值和實(shí)際值之間并不一致，存在一定的偏差。這種計(jì)算方式導(dǎo)致當(dāng)m的絕對值接近實(shí)際采集信號長度N時，誤差會變得越來越大。若是把m的增大導(dǎo)致累積樣點(diǎn)減少這個因素考慮進(jìn)去，不再統(tǒng)一除以N，而是除以N-m，則相關(guān)函數(shù)不再會產(chǎn)生線性減小的問題，這就對應(yīng)代碼中的無偏的計(jì)算方式。

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下期開講——精通信號處理設(shè)計(jì)小Tips（9）：估算信號在模擬通道的延時，敬請關(guān)注！

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