22.6.1.1。從離散到連續(xù)

要了解在處理連續(xù)隨機變量時遇到的其他技術挑戰(zhàn)，讓我們進行一個思維實驗。假設我們正在向飛鏢盤扔飛鏢，我們想知道它準確命中的概率2cm 從董事會的中心。

首先，我們想象測量一個精度的個位數(shù)，也就是說用 bins for0cm,1cm, 2cm， 等等。我們?nèi)诱f100在飛鏢板上飛鏢，如果20他們落入垃圾箱 2cm我們的結論是20%我們投擲的飛鏢擊中了棋盤2cm遠離中心。

然而，當我們仔細觀察時，這與我們的問題不符！我們想要完全相等，而這些箱子容納了介于 say 之間的所有東西 1.5cm和2.5cm.

沒有氣餒，我們繼續(xù)更進一步。我們測量得更精確，比如說 1.9cm,2.0cm,2.1cm，現(xiàn)在看到也許3的100飛鏢擊中棋盤2.0cm桶。因此我們得出結論概率是 3%.

但是，這并不能解決任何問題！我們剛剛將問題進一步降低了一位數(shù)。讓我們抽象一點。想象一下，我們知道第一個k數(shù)字匹配 2.00000…我們想知道它匹配第一個的概率k+1數(shù)字。可以相當合理地假設 k+1th數(shù)字本質上是從集合中隨機選擇的{0,1,2,…,9}. 至少，我們無法想象一個物理上有意義的過程會迫使遠離中心的微米數(shù)更喜歡以一個結束7對一個 3.

這意味著本質上，我們要求的精度每增加一位，匹配概率就會降低一個因子 10. 或者換句話說，我們期望

價值p本質上編碼了前幾位數(shù)字發(fā)生的事情，以及10?k處理其余部分。

請注意，如果我們知道位置準確到k=4小數(shù)點后的數(shù)字，這意味著我們知道該值落在區(qū)間內(nèi) [1.99995,2.00005]這是一個長度區(qū)間 2.00005?1.99995=10?4. 因此，如果我們稱這個區(qū)間的長度?， 我們可以說

讓我們更進一步。我們一直在思考的重點2整個時間，但從不考慮其他點。根本上沒有什么不同，但情況是價值p可能會有所不同。我們至少希望飛鏢投擲者更有可能擊中中心附近的一個點，比如 2cm而不是20cm. 因此，價值 p不是固定的，而是應該取決于點x. 這告訴我們，我們應該期望