今天的文章介紹了1900年前的數(shù)學發(fā)展史。過去100年來，數(shù)學有了很大的發(fā)展，除了像微分方程和微分幾何這些與經(jīng)典物理本身有深刻關系的數(shù)學以外，還發(fā)展出了代數(shù)拓撲、代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、范疇學、幾何表示論等極度抽象的數(shù)學。而近代數(shù)學不是一個僅僅關于“數(shù)”的學問。以范疇學為代表的近代數(shù)學，更是一門關于關系和結構的抽象學問。有趣的是，近年來，這些看似和現(xiàn)實毫無關系的數(shù)學理論，特別是代數(shù)拓撲、代數(shù)幾何和范疇學已經(jīng)開始和現(xiàn)代物理深度碰撞。

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物理學革命與數(shù)學的引入

歷史上物理和數(shù)學有著十分深刻的聯(lián)系。物理的目的之一是了解新的自然現(xiàn)象。而一個新的自然現(xiàn)象之所以新的標志，就是我們連描寫它的名字及數(shù)學符號都沒有。這就是為什么當物理學家有一個真正的新發(fā)現(xiàn)時，他/她什么都說不出來，什么都寫不出來，也無法進行計算推導。這時候就需要引入新的數(shù)學語言來描寫新的自然現(xiàn)象。這就是數(shù)學和物理之間的深刻聯(lián)系。正因為如此，每一次物理學的重大革命，其標志都是有新的數(shù)學被引入到物理學中來。

第一次物理革命是力學革命，需要研究的物理現(xiàn)象是天體的的運動。牛頓不僅要發(fā)明他的萬有引力理論，而且還要發(fā)明微積分這一套新的數(shù)學來描寫他的理論。第二次物理革命是電磁革命。麥克斯韋發(fā)現(xiàn)了一種新的物質形態(tài)——場形態(tài)物質。這就是電磁波，也是光波。后來人們發(fā)現(xiàn)，這種場形態(tài)物質需要用數(shù)學的纖維叢理論來描寫。第三次物理革命是廣義相對論。愛因斯坦發(fā)現(xiàn)了第二種場形態(tài)物質——引力波。他需要引入數(shù)學中的黎曼幾何來描寫這種新物質。第四次物理革命是量子革命。這次革命揭示出，我們世界中的真實存在，既不是粒子也不是波，但既是粒子又是波。這種莫名其妙卻又真實的存在，可以用量子力學來解釋，而量子力學則是建立在數(shù)學中的線性代數(shù)理論之上。

牛頓、麥克斯韋、黎曼、愛因斯坦

我們現(xiàn)在正在經(jīng)歷一場新的物理革命——第二次量子革命。這次革命的主角是量子信息和它們的量子糾纏。這次我們所遇到的新現(xiàn)象，就是很多很多量子比特的糾纏。這種多體量子糾纏的內(nèi)部結構，正是我們既說不出來，又沒有名字的新現(xiàn)象。我們現(xiàn)在正在發(fā)展一套新的數(shù)學理論（某種形式的范疇學），來試圖描寫這種新現(xiàn)象。

這次正在進行中的物理學新革命是非常深刻的。因為這次革命試圖用糾纏的量子信息來統(tǒng)一所有的物質、所有的基本粒子、所有的相互作用，甚至時空本身。而凝聚態(tài)物理中的拓撲序、拓撲物態(tài)，以及量子計算中的拓撲量子計算，都是多體量子糾纏的應用。正是通過這些物理研究，我們發(fā)現(xiàn)了多體量子糾纏的重要性，并引入了長程量子糾纏這一相關概念。

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用數(shù)學的眼光看物理學

我們剛才用物理的眼光，概括了數(shù)學和物理的關系。自牛頓以來，我們都是用分析的眼光看世界，用連續(xù)流形、連續(xù)場來描寫物理現(xiàn)象。特別是愛因斯坦的廣義相對論，它是如此的漂亮自然，大家都認為它抓住了宇宙的本質。之后，以幾何的眼光看世界成為物理的主流。在這個思路下，物理學家發(fā)展了規(guī)范場論、量子場論，以及描寫所有基本粒子的標準模型。

但完美主流的幾何的眼光，并不一定是認識世界的正確方法。從量子革命以來，我們越來越意識到，我們的世界不是連續(xù)的，而是離散的。我們應該用代數(shù)的眼光看世界。連續(xù)的分析，僅僅是離散的代數(shù)的一個幻象。就像連續(xù)的流體，是許許多多一個個分子集體運動的幻象。這種以代數(shù)的眼光看世界的新思想，將顛覆很多目前的主流物理理論，帶來物理的第二次量子革命。某種意義上，建立在幾何思路之上的廣義相對論、規(guī)范場論、量子場論太漂亮太完美了，讓我們誤以為它抓住了宇宙的本質，誤導了我們一百多年。

有趣的是，這100多年來，近代數(shù)學發(fā)展的一條脈絡也正是從連續(xù)到離散、從分析到代數(shù)的脈絡，也提出了離散的代數(shù)是比連續(xù)的分析更本質的觀點。60年代由Grothendieck學派發(fā)展出來的代數(shù)幾何理論正是這種思想的代表，代數(shù)幾何可以看作是實現(xiàn)了連續(xù)和離散的統(tǒng)一的幾何理論。這和物理學從經(jīng)典到量子的發(fā)展一一相映。而實現(xiàn)統(tǒng)一的語言當然是代數(shù)的，更準確的說，是一個超越了集合論的、全新的數(shù)學語言，也是代數(shù)幾何的基礎語言：范疇學。

40年代Eilenberg和Mac Lane發(fā)展了范疇學，60年代Grothendieck在此基礎上發(fā)展了代數(shù)幾何。

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范疇學的精神

下面讓我從一個外行的角度，來粗略介紹一下范疇學的精神。通常，如果我們想要深入了解一個物體，我們會把這個物體分解成越來越小、越來越簡單的構件。如果我們可以做到這一點，我們就認為了解了這個物體。這一思想方法就是還原論的思路。這是科學思想方法的一個主流。很多人甚至用它來定義什么叫做“理解”。

但主流并不代表正確。“理解”也可以由另外一種完全不同的方式來實現(xiàn)。我們不試圖把物體分成更小更簡單的基本構件。我們甚至不去考慮物體的內(nèi)部結構，也許物體根本就沒有什么內(nèi)部結構。我們試圖通過這個物體和其他所有物體的關系和作用，來了解這個物體。

其實，和其他物體的關系和作用，正代表了這個物體所有可能的性質。而一個物體的所有可能性質，也就完全定義了這個物體本身。歸根到底，也許我們根本就沒有物體，只有一大堆關系。而物體這一抽象的概念，以及物體所有可能的性質，是由這一堆關系來定義的。這就是范疇學的精神。

把這一范疇學的思路應用到認識論，我們發(fā)現(xiàn)所謂的“客觀存在”，其實是人腦通過觀察到的大量的、各種各樣的關系，所抽象出來的一個概念。也就是說，我們頭腦中的主觀印象觀察是客觀的。而所謂的“客觀存在”，反而是主觀的。因為我們所觀察到的大量的、各種各樣的關系不是隨機混亂的，這些關系之間有非常強烈的關聯(lián)。這些強烈的關聯(lián)賦予我們“客觀存在”這一想象（或概念）。吳詠時老師舉過一個社會學例子：范疇學的精神正像馬克思說過的，人這個個體是通過人和人的關系定義的。所以范疇學是關系學，也是認識世界的一種新方式。

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我們也可以把范疇學的思路用到物理中對相和相變的理解。兩個相之間的相變，就是范疇學中的“關系”。而相這個概念，就是通過所有相變（即“關系”）來定義的。

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物理學中的第2個例子是量子力學理論。通過量子力學中的波函數(shù)來理解我們的量子世界，其實是一種還原論的思路。如果我們要用范疇學的思路來理解我們的量子世界，那我們將像實驗物理學家一樣，直接考慮各種各樣的觀測（這些觀測對應于我們上面說的關系），而且我們只考慮各種各樣的觀測。這些觀測（關系）之間有很強的關聯(lián)。通過這些關系之間的關系，我們可以直接理解我們的量子世界。這就是范疇學的思路。

現(xiàn)有的量子理論用的不是這一思路，而是通過對觀測之間的關系的總結，抽象出波函數(shù)這一概念，代表所謂的“客觀存在”。然后我們再通過波函數(shù)來理解我們的量子世界。

其實波函數(shù)（及其背后的線性代數(shù)），僅僅是我們對現(xiàn)有實驗觀測的一個模型。這一模型不見得唯一，也就是說，可能有另一個理論可以同樣有效地描寫我們的量子世界。這一模型也不見得正確，也許將來新的實驗觀測會和現(xiàn)有的模型矛盾。這將迫使我們構造一個新的模型，也就是發(fā)展一套新的理論，來描寫我們的量子世界。

其實用范疇學的思路來理解我們的量子世界，就是要放棄波函數(shù)這一概念。這將有助于我們不受波函數(shù)的束縛，來進一步發(fā)展量子力學。

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物理學中第3個例子，就是具有長程糾纏的量子物態(tài)。量子物態(tài)中的組分有可能有長程糾纏。這些長程糾纏的各種各樣的構型，會給出各種各樣不同的量子物態(tài)[1]。這就是量子物態(tài)中所謂的拓撲序（見《拓撲序：看世界的一種新視角 | 眾妙之門》）。有長程糾纏的量子物態(tài)，是一類全新的物態(tài)，有各種想以前想不到的新現(xiàn)象。

陳諧（左）顧正澄（右）和我在一系列工作中提出了長程糾纏和對稱保護序的概念，并發(fā)展了對稱保護序的上同調理論。

長程量子糾纏及其對應的拓撲序，是一個全新的自然現(xiàn)象。我們到底應該用什么樣的數(shù)學來描寫這一新現(xiàn)象？近十幾年來的研究發(fā)現(xiàn)，張量范疇學和高階范疇學正是描寫長程糾纏（拓撲序）的數(shù)學框架。其實拓撲序物態(tài)中的拓撲準粒子對應于范疇學中的“實體”（object，即所謂的“客觀存在”），而準粒子的交換、融合等操作，對應于范疇學中的關系（morphism）。張量范疇學正巧是描寫拓撲準粒子的完備理論。它可描寫拓撲序物態(tài)中的拓撲準粒子所具有的各種非常新奇的性質，如分數(shù)電荷、分數(shù)自由度、分數(shù)統(tǒng)計，甚至是非阿貝爾統(tǒng)計，等等。正是這些新奇的性質（非阿貝爾統(tǒng)計），使我們可以用拓撲物態(tài)進行拓撲量子計算。

吳詠時（左）指出分數(shù)統(tǒng)計（準粒子的交換操作）的數(shù)學基礎是編織群表示。王正漢（右）及其合作者對簡單的模張量范疇進行了完全分類。

通過范疇學，我們得到了對拓撲序（即長程糾纏）的全面理解和分類。比如在1維，沒有非平凡的拓撲序，也就是說沒有長程糾纏，只有短程糾纏。在二維，各種各樣的拓撲序可以由一類特殊的張量范疇——模張量范疇——來一一描寫[2]。在三維，各種各樣的拓撲序可以由一類特殊的融合二階范疇來一一描寫[3]。

蘭天（左）、孔良（中）、朱晨暢（右）和我的一系列工作對三維拓撲序進行了完全的分類和構建。

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代數(shù)拓撲在凝聚態(tài)物理中的應用

近代數(shù)學的另一重要分支——代數(shù)拓撲，也在凝聚態(tài)物理中有重要的應用。上面提到長程糾纏（即拓撲序）代表了一類新型的量子物態(tài)。那么長程糾纏的反面——短程糾纏，應當只能描寫那些平庸的、沒意思的量子物態(tài)?？勺罱畮啄甑难芯拷沂?，如果系統(tǒng)有對稱性，那么即使是沒有拓撲序的短程糾纏的量子物態(tài)，也可以是非平凡的。這類非平凡短程糾纏態(tài)被稱之為“對稱保護序”。媒體中常說的拓撲絕緣體[4]，就是一種沒有拓撲序，但有對稱保護序的量子物態(tài)。雖然有短程糾纏的對稱保護序，沒有分數(shù)電荷，沒有分數(shù)自由度，也沒有分數(shù)統(tǒng)計，但它們會有非平凡的、可以導電導熱的邊界，這使之成為目前凝聚態(tài)物理研究的一個大熱點。

Mele（左）和Kane（右）在理論上發(fā)現(xiàn)了拓撲絕緣體

而代數(shù)拓撲中的上同調理論和示性類理論，正是描寫這些短程糾纏（即對稱保護序）的數(shù)學語言。這些代數(shù)拓撲理論使我們對一維有能隙的物態(tài)有了完全的理解和分類[5]，也使我們對高維的對稱保護序有了完全的理解和分類[6]。

有很長一段時間，我們認為所有的物態(tài)都可以通過朗道的對稱性和對稱性破缺理論來理解。為了理解這些物態(tài)，為了研究對稱性，很多物理學生都學群論?，F(xiàn)在我們意識到，還有很多新的物態(tài)是超越朗道對稱性理論的。為了研究這些新的量子物態(tài)及其中的多體量子糾纏，今后許多物理學生，很可能還要學習范疇學和代數(shù)拓撲。（其實目前已經(jīng)有很多物理學生開始學習范疇學、代數(shù)拓撲等現(xiàn)代數(shù)學理論）。這顯示了數(shù)學物理的交融和并肩發(fā)展。新的數(shù)學進入物理，也意味著物理目前正在進行一場改朝換代的新革命。