卡爾曼濾波器是傳感器融合工程師用于自動駕駛汽車的工具。想象一下，你有一個雷達傳感器，告訴你另一輛車距離15米，一個激光傳感器說車輛距離20米。你如何協(xié)調(diào)這些傳感器測量？這就是卡爾曼濾波器的功能?？柭鼮V波在自動駕駛汽車上的應(yīng)用十分廣泛，本文講述卡爾曼濾波算法，希望對你有所幫助。

卡爾曼濾波算法在控制領(lǐng)域有極廣泛的應(yīng)用，在發(fā)動機燃油噴射控制中，可以應(yīng)用擴展的卡爾曼濾波理論研究瞬態(tài)工況下發(fā)動機循環(huán)進氣量的最優(yōu)估計算法，在雷達中，人們感興趣的是跟蹤目標(biāo)，但目標(biāo)的位置、速度、加速度的測量值往往在任何時候都有噪聲?？柭鼮V波利用目標(biāo)的動態(tài)信息,設(shè)法去掉噪聲的影響，得到一個關(guān)于目標(biāo)位置的好的估計。

為了以后更好的工程實踐應(yīng)用卡爾曼濾波算法，今天小編帶領(lǐng)著大家了解卡爾曼濾波算法的理論。

什么是卡爾曼濾波？

你可以在任何含有不確定信息的動態(tài)系統(tǒng)中使用卡爾曼濾波，對系統(tǒng)下一步的走向做出有根據(jù)的預(yù)測，即使伴隨著各種干擾，卡爾曼濾波總是能指出真實發(fā)生的情況。

在連續(xù)變化的系統(tǒng)中使用卡爾曼濾波是非常理想的，它具有占用內(nèi)存小的優(yōu)點（除了前一個狀態(tài)量外，不需要保留其它歷史數(shù)據(jù)），并且速度很快，很適合應(yīng)用于實時問題和嵌入式系統(tǒng)。

在Google上找到的大多數(shù)關(guān)于實現(xiàn)卡爾曼濾波的數(shù)學(xué)公式看起來有點晦澀難懂，這個狀況有點糟糕。實際上，如果以正確的方式看待它，卡爾曼濾波是非常簡單和容易理解的，下面我將用漂亮的圖片和色彩清晰的闡述它，你只需要懂一些基本的概率和矩陣的知識就可以了。

我們能用卡爾曼濾波做什么？

用玩具舉例：你開發(fā)了一個可以在樹林里到處跑的小機器人，這個機器人需要知道它所在的確切位置才能導(dǎo)航。

我們可以說機器人有一個狀態(tài)，表示位置和速度：?

注意這個狀態(tài)只是關(guān)于這個系統(tǒng)基本屬性的一堆數(shù)字，它可以是任何其它的東西。在這個例子中是位置和速度，它也可以是一個容器中液體的總量，汽車發(fā)動機的溫度，用戶手指在觸摸板上的位置坐標(biāo)，或者任何你需要跟蹤的信號。

這個機器人帶有GPS，精度大約為10米，還算不錯，但是，它需要將自己的位置精確到10米以內(nèi)。樹林里有很多溝壑和懸崖，如果機器人走錯了一步，就有可能掉下懸崖，所以只有GPS是不夠的。

或許我們知道一些機器人如何運動的信息：例如，機器人知道發(fā)送給電機的指令，知道自己是否在朝一個方向移動并且沒有人干預(yù)，在下一個狀態(tài)，機器人很可能朝著相同的方向移動。當(dāng)然，機器人對自己的運動是一無所知的：它可能受到風(fēng)吹的影響，輪子方向偏了一點，或者遇到不平的地面而翻倒。所以，輪子轉(zhuǎn)過的長度并不能精確表示機器人實際行走的距離，預(yù)測也不是很完美。

GPS傳感器告訴了我們一些狀態(tài)信息，我們的預(yù)測告訴了我們機器人會怎樣運動，但都只是間接的，并且伴隨著一些不確定和不準(zhǔn)確性。但是，如果使用所有對我們可用的信息，我們能得到一個比任何依據(jù)自身估計更好的結(jié)果嗎？回答當(dāng)然是YES，這就是卡爾曼濾波的用處。

卡爾曼濾波是如何看到你的問題的？

下面我們繼續(xù)以只有位置和速度這兩個狀態(tài)的簡單例子做解釋。

我們并不知道實際的位置和速度，它們之間有很多種可能正確的組合，但其中一些的可能性要大于其它部分：

卡爾曼濾波假設(shè)兩個變量（位置和速度，在這個例子中）都是隨機的，并且服從高斯分布。每個變量都有一個均值μ，表示隨機分布的中心（最可能的狀態(tài)），以及方差，表示不確定性。?

在上圖中，位置和速度是不相關(guān)的，這意味著由其中一個變量的狀態(tài)無法推測出另一個變量可能的值。下面的例子更有趣：位置和速度是相關(guān)的，觀測特定位置的可能性取決于當(dāng)前的速度：

這種情況是有可能發(fā)生的，例如，我們基于舊的位置來估計新位置。如果速度過高，我們可能已經(jīng)移動很遠了。如果緩慢移動，則距離不會很遠。跟蹤這種關(guān)系是非常重要的，因為它帶給我們更多的信息：其中一個測量值告訴了我們其它變量可能的值，這就是卡爾曼濾波的目的，盡可能地在包含不確定性的測量數(shù)據(jù)中提取更多信息！

這種相關(guān)性用協(xié)方差矩陣來表示，簡而言之，矩陣中的每個元素?表示第 i 個和第 j 個狀態(tài)變量之間的相關(guān)度。（你可能已經(jīng)猜到協(xié)方差矩陣是一個對稱矩陣，這意味著可以任意交換 i 和 j）。協(xié)方差矩陣通常用“”來表示，其中的元素則表示為“?”。?

使用矩陣來描述問題

我們基于高斯分布來建立狀態(tài)變量，所以在時刻 k 需要兩個信息：最佳估計（即均值，其它地方常用 μ 表示），以及協(xié)方差矩陣??。?

(1)

（當(dāng)然，在這里我們只用到了位置和速度，實際上這個狀態(tài)可以包含多個變量，代表任何你想表示的信息）。接下來，我們需要根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)（k-1時刻）來預(yù)測下一狀態(tài)（k時刻）。記住，我們并不知道對下一狀態(tài)的所有預(yù)測中哪個是“真實”的，但我們的預(yù)測函數(shù)并不在乎。它對所有的可能性進行預(yù)測，并給出新的高斯分布。

我們可以用矩陣?來表示這個預(yù)測過程：?

它將我們原始估計中的每個點都移動到了一個新的預(yù)測位置，如果原始估計是正確的話，這個新的預(yù)測位置就是系統(tǒng)下一步會移動到的位置。那我們又如何用矩陣來預(yù)測下一個時刻的位置和速度呢？下面用一個基本的運動學(xué)公式來表示：

現(xiàn)在，我們有了一個預(yù)測矩陣來表示下一時刻的狀態(tài)，但是，我們?nèi)匀徊恢涝趺锤聟f(xié)方差矩陣。此時，我們需要引入另一個公式，如果我們將分布中的每個點都乘以矩陣A，那么它的協(xié)方差矩陣?會怎樣變化呢？很簡單，下面給出公式：?

結(jié)合方程（4）和（3）得到：

外部控制量

我們并沒有捕捉到一切信息，可能存在外部因素會對系統(tǒng)進行控制，帶來一些與系統(tǒng)自身狀態(tài)沒有相關(guān)性的改變。

以火車的運動狀態(tài)模型為例，火車司機可能會操縱油門，讓火車加速。相同地，在我們機器人這個例子中，導(dǎo)航軟件可能會發(fā)出一個指令讓輪子轉(zhuǎn)向或者停止。如果知道這些額外的信息，我們可以用一個向量來表示，將它加到我們的預(yù)測方程中做修正。?

假設(shè)由于油門的設(shè)置或控制命令，我們知道了期望的加速度，根據(jù)基本的運動學(xué)方程可以得到：?

以矩陣的形式表示就是：

稱為控制矩陣，稱為控制向量（對于沒有外部控制的簡單系統(tǒng)來說，這部分可以忽略）。讓我們再思考一下，如果我們的預(yù)測并不是100%準(zhǔn)確的，該怎么辦呢？

外部干擾

如果這些狀態(tài)量是基于系統(tǒng)自身的屬性或者已知的外部控制作用來變化的，則不會出現(xiàn)什么問題。

但是，如果存在未知的干擾呢？例如，假設(shè)我們跟蹤一個四旋翼飛行器，它可能會受到風(fēng)的干擾，如果我們跟蹤一個輪式機器人，輪子可能會打滑，或者路面上的小坡會讓它減速。這樣的話我們就不能繼續(xù)對這些狀態(tài)進行跟蹤，如果沒有把這些外部干擾考慮在內(nèi)，我們的預(yù)測就會出現(xiàn)偏差。

在每次預(yù)測之后，我們可以添加一些新的不確定性來建立這種與“外界”（即我們沒有跟蹤的干擾）之間的不確定性模型：

原始估計中的每個狀態(tài)變量更新到新的狀態(tài)后，仍然服從高斯分布。我們可以說的每個狀態(tài)變量移動到了一個新的服從高斯分布的區(qū)域，協(xié)方差為。換句話說就是，我們將這些沒有被跟蹤的干擾當(dāng)作協(xié)方差為的噪聲來處理。?

這產(chǎn)生了具有不同協(xié)方差（但是具有相同的均值）的新的高斯分布。

我們通過簡單地添加得到擴展的協(xié)方差，下面給出預(yù)測步驟的完整表達式：?

由上式可知，新的最優(yōu)估計是根據(jù)上一最優(yōu)估計預(yù)測得到的，并加上已知外部控制量的修正。

而新的不確定性由上一不確定性預(yù)測得到，并加上外部環(huán)境的干擾。

好了，我們對系統(tǒng)可能的動向有了一個模糊的估計，用和來表示。如果再結(jié)合傳感器的數(shù)據(jù)會怎樣呢？

用測量值來修正估計值

我們可能會有多個傳感器來測量系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，哪個傳感器具體測量的是哪個狀態(tài)變量并不重要，也許一個是測量位置，一個是測量速度，每個傳感器間接地告訴了我們一些狀態(tài)信息。

注意，傳感器讀取的數(shù)據(jù)的單位和尺度有可能與我們要跟蹤的狀態(tài)的單位和尺度不一樣，我們用矩陣?來表示傳感器的數(shù)據(jù)。?

我們可以計算出傳感器讀數(shù)的分布，用之前的表示方法如下式所示：

卡爾曼濾波的一大優(yōu)點就是能處理傳感器噪聲，換句話說，我們的傳感器或多或少都有點不可靠，并且原始估計中的每個狀態(tài)可以和一定范圍內(nèi)的傳感器讀數(shù)對應(yīng)起來。

從測量到的傳感器數(shù)據(jù)中，我們大致能猜到系統(tǒng)當(dāng)前處于什么狀態(tài)。但是由于存在不確定性，某些狀態(tài)可能比我們得到的讀數(shù)更接近真實狀態(tài)。

我們將這種不確定性（例如：傳感器噪聲）用協(xié)方差表示，該分布的均值就是我們讀取到的傳感器數(shù)據(jù)，稱之為。?

現(xiàn)在我們有了兩個高斯分布，一個是在預(yù)測值附近，一個是在傳感器讀數(shù)附近。

我們必須在預(yù)測值（粉紅色）和傳感器測量值（綠色）之間找到最優(yōu)解。

那么，我們最有可能的狀態(tài)是什么呢？對于任何可能的讀數(shù)，有兩種情況：（1）傳感器的測量值；（2）由前一狀態(tài)得到的預(yù)測值。如果我們想知道這兩種情況都可能發(fā)生的概率，將這兩個高斯分布相乘就可以了。?

剩下的就是重疊部分了，這個重疊部分的均值就是兩個估計最可能的值，也就是給定的所有信息中的最優(yōu)估計。

瞧！這個重疊的區(qū)域看起來像另一個高斯分布。

如你所見，把兩個具有不同均值和方差的高斯分布相乘，你會得到一個新的具有獨立均值和方差的高斯分布！下面用公式講解。

融合高斯分布

先以一維高斯分布來分析比較簡單點，具有方差?和 μ 的高斯曲線可以用下式表示：?

如果把兩個服從高斯分布的函數(shù)相乘會得到什么呢？

將式（9）代入到式（10）中（注意重新歸一化，使總概率為1）可以得到：

將式（11）中的兩個式子相同的部分用k表示：

下面進一步將式（12）和（13）寫成矩陣的形式，如果Σ表示高斯分布的協(xié)方差，?表示每個維度的均值，則：?

矩陣稱為卡爾曼增益，下面將會用到。放松！我們快要完成了！

將所有公式整合起來

我們有兩個高斯分布，預(yù)測部分，和測量部分，將它們放到式（15）中算出它們之間的重疊部分：?

由式（14）可得卡爾曼增益為：

將式（16）和式（17）的兩邊同時左乘矩陣的逆（注意里面包含了??）將其約掉，再將式（16）的第二個等式兩邊同時右乘矩陣??的逆得到以下等式：?

上式給出了完整的更新步驟方程。就是新的最優(yōu)估計，我們可以將它和放到下一個預(yù)測和更新方程中不斷迭代。?

總結(jié)

以上所有公式中，你只需要用到式（7）、（18）、（19）。（如果忘了的話，你可以根據(jù)式（4）和（15）重新推導(dǎo)一下）

我們可以用這些公式對任何線性系統(tǒng)建立精確的模型，對于非線性系統(tǒng)來說，我們使用擴展卡爾曼濾波，區(qū)別在于EKF多了一個把預(yù)測和測量部分進行線性化的過程。