電動(dòng)機(jī)械是現(xiàn)代工業(yè)社會(huì)的重要支柱。在這類種類繁多的機(jī)械設(shè)備中，發(fā)電機(jī)或電動(dòng)機(jī)一類的旋轉(zhuǎn)機(jī)械應(yīng)用最為廣泛。COMSOL Multiphysics 中的旋轉(zhuǎn)機(jī)械，磁物理場(chǎng)接口即旨在模擬這些系統(tǒng)。請(qǐng)跟隨我們一起探討旋轉(zhuǎn)機(jī)械的模擬過(guò)程，并了解使用此功能詳細(xì)的最佳做法。

旋轉(zhuǎn)機(jī)械的幾何

任何一種旋轉(zhuǎn)磁力機(jī)械都包含兩個(gè)零件：定子和轉(zhuǎn)子，中間有空氣縫隙將其分隔開，并驅(qū)使轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)。因?yàn)橛邢拊椒ú恢С中D(zhuǎn)，所以旋轉(zhuǎn)機(jī)械，磁接口利用移動(dòng)網(wǎng)格的方法模擬這種旋轉(zhuǎn)。

直流換向電機(jī)的幾何，其中包含兩個(gè)永磁體和一個(gè)旋轉(zhuǎn)繞組。

這種機(jī)械的幾何切割（通常沿著空氣縫隙）成兩部分：一部分包含定子，另一部分包含轉(zhuǎn)子。之后這兩部分分別進(jìn)行網(wǎng)格剖分。在模擬過(guò)程中，含有定子的部分保持靜止，含有轉(zhuǎn)子的部分則旋轉(zhuǎn)。這兩部分以及相應(yīng)的網(wǎng)格一直在切割邊界相接觸。

幾何必須包含兩磁體間的空氣縫隙。紅色表示一條可能的切割邊界。

默認(rèn)情況下，幾何序列的最后一步是形成聯(lián)合體、合并所有幾何對(duì)象并作為一個(gè)對(duì)象進(jìn)行網(wǎng)格剖分，最終完成定型。在分別對(duì)這兩部分進(jìn)行網(wǎng)格剖分之前，必須通過(guò)形成裝配使對(duì)象定型。首先利用并集與其他操作，為靜止部分和旋轉(zhuǎn)部分分別創(chuàng)建一個(gè)幾何對(duì)象。隨后對(duì)幾何序列的定型節(jié)點(diǎn)選擇形成裝配。定型過(guò)程中，一致對(duì)會(huì)自動(dòng)創(chuàng)建在定義下，表示這兩個(gè)對(duì)象的共同（接觸）邊界。

直流電機(jī)的網(wǎng)格放大圖。旋轉(zhuǎn)部分和靜止部分已分別進(jìn)行了網(wǎng)格剖分，在圖中顯示為兩側(cè)不同的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位置。邊界高亮顯示為藍(lán)色，包含在一致對(duì)中。在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，這兩部分的網(wǎng)格彼此滑動(dòng)，在一致對(duì)上保持接觸。

現(xiàn)在就可以使用旋轉(zhuǎn)機(jī)械，磁接口定義系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)了。使用指定旋轉(zhuǎn)特征指定旋轉(zhuǎn)角（可指定為與時(shí)間相關(guān)），或使用指定旋轉(zhuǎn)速度特征輸入一個(gè)恒定的角速度。應(yīng)用以上任一個(gè)特征后，COMSOL Multiphysics 軟件將對(duì)選定域啟用移動(dòng)網(wǎng)格功能，同時(shí)設(shè)置合適的電磁場(chǎng)變換。

“指定旋轉(zhuǎn)”特征或“指定旋轉(zhuǎn)速度”特征必須應(yīng)用到包含轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)部分。

切割處會(huì)怎樣變化呢？從物理角度而言，空氣縫隙處的電磁場(chǎng)是連續(xù)的，并假定材料均勻。與其他內(nèi)部邊界不同的是，一致對(duì)處的磁場(chǎng)不會(huì)自動(dòng)連續(xù)。要強(qiáng)制其連續(xù)，須對(duì)一致對(duì)使用連續(xù)性對(duì)特征。

混合公式

旋轉(zhuǎn)機(jī)械，磁接口通過(guò)求解 Maxwell 方程計(jì)算電磁場(chǎng)的分布。在各個(gè)物理場(chǎng)確定后，就能計(jì)算出大部分相關(guān)的物理量（如施加的扭矩）。在瞬態(tài)分析中，這個(gè)接口應(yīng)用了準(zhǔn)靜態(tài)近似，這一方法會(huì)忽略位移電流密度，或者近似認(rèn)為機(jī)械的電容效應(yīng)可忽略。完成近似處理后，機(jī)械中的全部電流要么是外加的（也就是通過(guò)勵(lì)磁繞組），要么是機(jī)械的導(dǎo)電部件感應(yīng)產(chǎn)生的渦流。不導(dǎo)電部分（如空氣間隙）不會(huì)產(chǎn)生任何電流密度。

該接口使用兩種方法求解 Maxwell 方程：矢量勢(shì)公式和標(biāo)量勢(shì)公式。第一種方法引入矢量場(chǎng)

有了

要求解的安培定律為：

矢量勢(shì)公式用于磁場(chǎng)物理場(chǎng)接口。

標(biāo)量勢(shì)公式僅適用于電流密度為零的區(qū)域。針對(duì)本文討論的旋轉(zhuǎn)機(jī)械，我們引入了標(biāo)量場(chǎng)

與矢量勢(shì)公式相比，標(biāo)量勢(shì)公式引入的自由度較少，因此求解的問題“更簡(jiǎn)單”。當(dāng)然，其缺點(diǎn)也很明顯，只能用在無(wú)電流區(qū)域。通常，因?yàn)檫@個(gè)缺陷，標(biāo)量勢(shì)公式只適用于非常特殊的情況，如永磁體的穩(wěn)態(tài)研究等。不過(guò)，由于應(yīng)用了準(zhǔn)靜態(tài)近似，標(biāo)量勢(shì)公式還能用于瞬態(tài)分析中的非傳導(dǎo)區(qū)域。

在三維模型的情況中，標(biāo)量勢(shì)方法具有另一個(gè)重要的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)與連續(xù)性特征這樣的成對(duì)特征配合使用時(shí)，這個(gè)公式能確保磁通密度的耦合更加精確，而磁通密度正是磁力機(jī)械模擬的核心。

這兩個(gè)公式可以一起使用，即將矢量勢(shì)公式用于傳導(dǎo)域或?qū)щ娪颍瑯?biāo)量勢(shì)公式用于空氣縫隙和非傳導(dǎo)域。因此稱為混合公式，在三維模型中，由于標(biāo)量公式提高了成對(duì)耦合的精度，所以這種方法特別有用。在二維模型中，對(duì)于平面內(nèi)的磁場(chǎng)，用于矢量勢(shì)和標(biāo)量勢(shì)的離散化方式很相似。所以在二維平面內(nèi)的情況中不必使用混合公式。

旋轉(zhuǎn)機(jī)械，磁接口默認(rèn)將安培定律特征（即矢量勢(shì)公式）應(yīng)用到所有域，因?yàn)檫@是最通用的公式。將磁通量守恒特征（實(shí)現(xiàn)標(biāo)量勢(shì)公式）應(yīng)用到空氣縫隙和其他非傳導(dǎo)性區(qū)域等無(wú)電流的域內(nèi)，以替代安培定律。使用混合公式邊界特征后會(huì)在標(biāo)量勢(shì)區(qū)域和矢量勢(shì)區(qū)域間的界面上應(yīng)用適當(dāng)?shù)臈l件。請(qǐng)注意，連續(xù)性對(duì)特征會(huì)耦合一致對(duì)兩側(cè)的相關(guān)變量，所以要確保兩側(cè)使用了相同的公式。為提高數(shù)值穩(wěn)定性，將磁標(biāo)勢(shì)場(chǎng)度規(guī)修復(fù)特征應(yīng)用于全部矢量勢(shì)域，這是磁場(chǎng)接口中常見的做法。

“安培定律”特征僅應(yīng)用于包含導(dǎo)電繞組的旋轉(zhuǎn)部分的內(nèi)部。注意，選定區(qū)域小于整個(gè)旋轉(zhuǎn)部分，旋轉(zhuǎn)部分延伸到切割邊界。要提高精度，在一致對(duì)條件附近使用標(biāo)量勢(shì)公式。

混合公式非常簡(jiǎn)單明了，但請(qǐng)牢記它的數(shù)學(xué)背景和局限性。判斷是否適用的最重要條件，也是最易出錯(cuò)的條件，即標(biāo)量勢(shì)只能表示不旋轉(zhuǎn)的磁場(chǎng)（無(wú)旋磁場(chǎng)）。在實(shí)際情況中，標(biāo)量勢(shì)區(qū)域不可能存在完全圍住（“鎖住”）電流的閉合曲線。

其原因來(lái)自標(biāo)量勢(shì)的定義和 Maxwell 方程。在使用標(biāo)量勢(shì)公式的區(qū)域，沿閉合曲線的磁場(chǎng)積分始終為零，因?yàn)榇艌?chǎng)是標(biāo)量勢(shì)的梯度。與此同時(shí)，通過(guò)安培定律，我們知道沿閉合曲線的磁場(chǎng)積分必須等于該曲線圍住的總電流。因此，除非圍住的電流恰好為零，否則不會(huì)有解（也不可能有標(biāo)量勢(shì)的配置）。如果我們?cè)噲D用 COMSOL Multiphysics 求解一個(gè)不滿足此條件的問題，那么求解器不會(huì)收斂。下圖闡明了這個(gè)概念，其中藍(lán)色表示矢量勢(shì)區(qū)域，灰色圍住的是標(biāo)量勢(shì)區(qū)域。

標(biāo)量勢(shì)區(qū)域中一條閉合曲線“鎖住”導(dǎo)電（電流返回路徑在幾何之外）的標(biāo)量勢(shì)區(qū)域。此模型可能無(wú)解。

下圖為有效幾何，其中標(biāo)量勢(shì)區(qū)域簡(jiǎn)單相連，意味著全程沒有矢量勢(shì)“漏洞”。

相對(duì)運(yùn)動(dòng)和框架

對(duì)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械而言，定子和轉(zhuǎn)子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是機(jī)械運(yùn)行的核心。相對(duì)運(yùn)動(dòng)物體的電磁問題并非不值一提，事實(shí)上，一百多年以前，正是這個(gè)問題推動(dòng)了相對(duì)論的發(fā)展。

通常而言，解決這類問題的第一步是選擇表述方程時(shí)所用的框架?？蚣芗催x擇坐標(biāo)系以及選擇空間每一點(diǎn)的軸。一個(gè)很自然的選擇是固定的笛卡爾坐標(biāo)系，有時(shí)稱為“實(shí)驗(yàn)室”框架，在 COMSOL Multiphysic 中稱為空間框架。在這個(gè)框架中，靜止部分固定不動(dòng)，旋轉(zhuǎn)部分運(yùn)動(dòng)。

另一個(gè)可能的選擇是，將笛卡爾坐標(biāo)系應(yīng)用到空間的每一點(diǎn)，如同空間框架中的那樣，不過(guò)隨后要使坐標(biāo)系跟隨旋轉(zhuǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。在這個(gè)框架中，構(gòu)成機(jī)械的材料始終靜止（框架本身隨之運(yùn)動(dòng)），所以稱為材料框架。在機(jī)械的靜止部分，空間框架和材料框架重合，因?yàn)檫@部分沒有任何運(yùn)動(dòng)。而在旋轉(zhuǎn)部分，材料框架相對(duì)于空間框架發(fā)生旋轉(zhuǎn)。只要應(yīng)用適當(dāng)?shù)淖儞Q，這兩種框架產(chǎn)生的結(jié)果完全相同。

默認(rèn)情況下，材料框架的坐標(biāo)系為大寫字母 (X, Y, Z)，空間框架的坐標(biāo)系為小寫字母 (x,y, z)。坐標(biāo)系的名稱表示特定框架內(nèi)矢量的分量；例如，電場(chǎng)分量在空間框架中表示為 Ex、Ey 和 Ez，在材料框架中表示為 EX、EY 和 EZ。

這一問題會(huì)自動(dòng)用公式表示，并通過(guò)材料框架中的物理場(chǎng)求解。至于后處理，觀察空間框架中的變量和各個(gè)物理場(chǎng)通常很有趣，因?yàn)槎ㄗ邮冀K靜止，它與這幾個(gè)物理量形成了鮮明的對(duì)比。因此，物理場(chǎng)會(huì)自動(dòng)變換，并在空間框架中定義所有矢量場(chǎng)。空間變量和材料變量在表達(dá)式列表中表示為帶括號(hào)的框架，如下圖所示。

矢量物理量定義為空間框架和材料框架中的分量。

從材料框架變換到空間框架時(shí)，大多數(shù)矢量物理量?jī)H進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，而模保持不變。但電磁場(chǎng)，尤其是電場(chǎng)卻并非如此，因?yàn)樗鼈冏裱鍌惼澴儞Q規(guī)則進(jìn)行變換。對(duì)于非相對(duì)論速度，用以下公式將這兩個(gè)框架內(nèi)的物理場(chǎng)關(guān)聯(lián)起來(lái)：

我們先觀察二維發(fā)電機(jī)的幾何。下圖中，紅線將旋轉(zhuǎn)部分和靜止部分分隔開。深色域表示轉(zhuǎn)子中的永磁體，淺色域表示可飽和鐵，銅域表示發(fā)電機(jī)的繞組。白色域表示空氣。

傳導(dǎo)性材料“觀察到”材料框架中的電場(chǎng)，驅(qū)動(dòng)電流密度?？傊@個(gè)電場(chǎng)與空間框架中的電場(chǎng)完全不同，如下圖所示。

左圖：旋轉(zhuǎn)時(shí)空間框架中電場(chǎng)的平面外分量（單位： V/m）。轉(zhuǎn)子中的磁體相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室框架內(nèi)的定子發(fā)生運(yùn)動(dòng)，因此產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)。右圖：材料框架中電場(chǎng)的平面外分量（單位 ：V/m）。因?yàn)樾D(zhuǎn)部分的框架中磁體靜止，所以不會(huì)產(chǎn)生明顯的感應(yīng)電場(chǎng)。靜止部分的電場(chǎng)在材料框架和空間框架中完全相同。

設(shè)置求解器

求解器必須按照預(yù)期的仿真進(jìn)行專門設(shè)置。穩(wěn)態(tài)研究可用于模擬穩(wěn)態(tài)條件下（即轉(zhuǎn)子固定且瞬態(tài)效應(yīng)消失后）旋轉(zhuǎn)機(jī)械的行為。瞬態(tài)步驟則研究旋轉(zhuǎn)時(shí)發(fā)生的情況。

使用瞬態(tài)步驟時(shí)，很重要的一點(diǎn)是指定正確的初始值，該值須經(jīng)調(diào)查符合實(shí)際情況。如果這是研究的第一步，那么可以從初始值特征（默認(rèn)設(shè)置為零）獲取磁場(chǎng)的初始值。另一種方法是，在瞬態(tài)研究步驟之前求解“穩(wěn)態(tài)”步驟，以使瞬態(tài)仿真的初始值不為零。

總之，如果激勵(lì)“已激活”（例如發(fā)電機(jī)中的永磁體），則添加穩(wěn)態(tài)步驟，這與激勵(lì)在瞬態(tài)研究開始時(shí)才“打開”完全不同。在例如直流換向電機(jī)這樣具有兩種激勵(lì)形式的模型中，一定要禁用會(huì)導(dǎo)致“穩(wěn)態(tài)”步驟中產(chǎn)生瞬態(tài)激勵(lì)的特征，也就是說(shuō)，如果仿真的目的是模擬瞬態(tài)激勵(lì)“打開”時(shí)的行為，則禁用這樣的特征。

總結(jié)

模擬旋轉(zhuǎn)機(jī)械在本質(zhì)上是一個(gè)高級(jí)的、具有挑戰(zhàn)性的主題。在本文中，我們展示了旋轉(zhuǎn)磁力機(jī)械模擬時(shí)涉及的一些概念，以及處理此類有趣應(yīng)用的步驟和最佳做法。旋轉(zhuǎn)機(jī)械，磁接口和磁場(chǎng)接口構(gòu)成了這一功能的核心，是分析和優(yōu)化復(fù)雜系統(tǒng)的強(qiáng)大工具。