自由曲面光學(xué)是照明行業(yè)在光線重定向到目標(biāo)區(qū)域方面的改變者。非均勻有理B樣條，通常稱為NURBS廣泛用于表示自由曲面和曲面。有一些光學(xué)系統(tǒng)需要在設(shè)計(jì)或優(yōu)化階段對(duì)表面進(jìn)行局部修飾。在這種情況下，NURBS不能提供這種轉(zhuǎn)換。但是一個(gè)叫做T-splines的新數(shù)學(xué)表達(dá)式使得這是可行的。雖然它的潛力已被很好地描述，但迄今為止尚未在任何優(yōu)化程序中實(shí)施。Annie Shalom Isaac，來(lái)自卡爾斯魯厄理工學(xué)院的Jiayi Long和Cornelius Neumann通過(guò)在優(yōu)化程序中執(zhí)行T型樣條證明了局部細(xì)化能力的優(yōu)勢(shì)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了評(píng)估。結(jié)果表明，與NURBS相比，T樣條提供更均勻和均勻的光分布，且收斂速度更快。這使得使用T樣條的光學(xué)設(shè)計(jì)或優(yōu)化成為未來(lái)自由形式設(shè)計(jì)任務(wù)的直觀方法。

3x3 OFFD柵格在（左）和（右）變形之前封閉和光學(xué)表面

自由形式光學(xué)器件的設(shè)計(jì)在很大程度上依賴于以下方法之一：基于點(diǎn)源假設(shè)[3]，SMS設(shè)計(jì)[4]和基于等通量網(wǎng)格[5]的源目標(biāo)圖的裁剪以創(chuàng)建初始光學(xué)表面。由于這些數(shù)學(xué)方法不能保證為擴(kuò)展的LED光源提供準(zhǔn)確的結(jié)果，也不能提供通用的解決方案，光學(xué)設(shè)計(jì)師仍然依靠任何優(yōu)化工具來(lái)改善結(jié)果。光線跟蹤算法中的速度提高以及復(fù)雜的智能優(yōu)化算法使優(yōu)化方法的應(yīng)用更加廣泛。但自由曲面優(yōu)化的缺點(diǎn)主要是由于其復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)和許多參數(shù)的存在。

Wendel et.al提出了一種稱為優(yōu)化的方法，使用自由形變（OFFD）來(lái)克服這個(gè)困難，將光學(xué)表面置于網(wǎng)格中并使封閉的網(wǎng)格變形而不是直接作用于網(wǎng)格[1]。這種方法使用NURBS來(lái)表示光學(xué)表面，其結(jié)果表明，使用較少的優(yōu)化變量，它們可以很好地實(shí)現(xiàn)全局變形，這使得制造更容易。但是有些情況下需要在光線分布上有明顯的傾斜，或者光線的路徑必須顯著改變。在這種情況下，輕微的局部變形會(huì)帶來(lái)顯著的改善。但是對(duì)于目前的OFFD，這是不可能的，因?yàn)橄旅娴谋砻姹硎?。稱為T樣條的另一種表面表示法可以克服這個(gè)缺點(diǎn)[2]。Bailey等人。al已經(jīng)證明了T-splines的潛力及其在光學(xué)表面的應(yīng)用[6]。但是迄今為止，這種方法既未應(yīng)用于任何優(yōu)化程序，也未對(duì)其光學(xué)性能進(jìn)行分析并與NURBS進(jìn)行比較。

因此，這項(xiàng)工作考慮了這個(gè)問(wèn)題，并提供了解決這個(gè)問(wèn)題的替代方法。第2部分介紹了OFFD技術(shù)。光學(xué)表面的數(shù)學(xué)表面表示在第3節(jié)中介紹.T樣條的實(shí)現(xiàn)結(jié)果和比較結(jié)果在第4節(jié)中顯示，隨后在第5節(jié)中給出結(jié)論。

使用OFFD進(jìn)行優(yōu)化

OFFD方法采用Sederberg [7]提出的自由變形（FFD）技術(shù)，并結(jié)合優(yōu)化程序。網(wǎng)格和光學(xué)表面之間的關(guān)系使用FFD算法很好地建立[7]。圖1顯示了在變形之前和之后具有光學(xué)表面的網(wǎng)格。為了簡(jiǎn)潔起見，只介紹OFFD方法的概述。

該算法首先選擇一個(gè)輸入表面，其光學(xué)性能必須得到改善，這通常遠(yuǎn)離目標(biāo)。通過(guò)這種方法，光學(xué)表面被包圍在包含27個(gè)網(wǎng)格控制點(diǎn)的網(wǎng)格內(nèi)，并且用戶可以從它們中選擇任何組合。這作為變量提供給優(yōu)化算法。優(yōu)化算法對(duì)于選定的網(wǎng)格點(diǎn)組合具有廣泛的搜索空間，并提供沿三維向封閉網(wǎng)格的移動(dòng)。隨著封閉的網(wǎng)格發(fā)生變化，它也會(huì)改變其內(nèi)部的光學(xué)表面。然后對(duì)變形后的表面進(jìn)行光度評(píng)估，優(yōu)化算法根據(jù)此結(jié)果決定其優(yōu)化變量的變化。該算法一再重復(fù)，直到達(dá)到目標(biāo)照明要求。

這個(gè)程序中最重要的一步是變形光學(xué)表面的品質(zhì)因數(shù)定義，因?yàn)檎麄€(gè)優(yōu)化是基于這個(gè)單一的值，稱為Q.在本文中，我們使用兩個(gè)不同的評(píng)價(jià)函數(shù)。

偏差評(píng)價(jià)函數(shù)Qdev，其對(duì)應(yīng)于當(dāng)前模擬分布與期望分布的偏差并被表示為

G是人們感興趣的區(qū)域，Eideal（x）是期望的照度分布目標(biāo)，E（x）是當(dāng)前的光分布。

通量擇優(yōu)函數(shù)Q磁通對(duì)應(yīng)于最大化，其中被量化為在目標(biāo)（Φ通量的比率所需的目標(biāo)區(qū)域中的通量噸），并通過(guò)光學(xué)器件收集φC可用通量。

光學(xué)表面的數(shù)學(xué)表示

NURBS

NURBS技術(shù)非常成熟，可用于計(jì)算機(jī)輔助圖形系統(tǒng)以及光線追蹤器。由于其靈活性，可以通過(guò)在優(yōu)化程序期間更改控制點(diǎn)或其重量來(lái)輕松操縱或修改曲面。NURBS曲面是參數(shù)張量積曲面，定義如下：

其中Pij是控制點(diǎn)的矩形陣列，其中Pij是（n + 1）×（m + 1）矩陣，wi，j是權(quán)重，Nip（u）和Njq（v）是u和p的基函數(shù)， v方向，分別與結(jié)矢量相關(guān)聯(lián)。

其中r = p + n + 1和s = m + q + 1成立。當(dāng)必須在NURBS中添加控制點(diǎn)時(shí)，使用結(jié)插入方法完成控制點(diǎn)。添加單個(gè)節(jié)點(diǎn)需要添加整列或一排控制點(diǎn)。使用NURBS也不可能去除結(jié)頭，而不會(huì)改變幾何形狀。這種局部細(xì)化主要限于NURBS，因?yàn)樗膹埩慨a(chǎn)品結(jié)構(gòu)如EQ3所示。如圖3所示，NURBS曲面被逐列水平和垂直逐行地重復(fù)。為了滿足這種平衡，如果增加一個(gè)新的控制點(diǎn)，則同時(shí)添加整列或一行控制點(diǎn)。

T樣條

由NURBS強(qiáng)加的缺點(diǎn)可以通過(guò)稱為T樣條的自由曲面的替代數(shù)學(xué)表示來(lái)解決。T型樣條概括了B樣條，通過(guò)向圖3中相關(guān)的B樣條添加T型結(jié)，將特定的行和列參數(shù)分配給特定的控制點(diǎn)。這使得T樣條在局部變形中是一種更先進(jìn)的技術(shù)，不需要的控制點(diǎn)。T樣條是基于點(diǎn)而不是基于網(wǎng)格的張量積B-樣條?？刂凭W(wǎng)格稱為T網(wǎng)格，T樣條曲面的定義由下式給出

其中Pi是控制點(diǎn)。Ni（u，v）是基本函數(shù)，由下式給出

基本函數(shù)Nui（u）和Nvi（v）分別與結(jié)向量相關(guān)聯(lián)

當(dāng)一個(gè)人插入一個(gè)新的控制點(diǎn)或一個(gè)結(jié)時(shí)，其他控制點(diǎn)之間的間隔必須被改進(jìn)而不會(huì)改變其形狀。這是通過(guò)滿足EQ6分別對(duì)兩個(gè)單變量基函數(shù)Nui（u）和Nvi（v）進(jìn)行細(xì)化來(lái)完成的。這種局部細(xì)化的性質(zhì)不會(huì)增加控制點(diǎn)的數(shù)量，也不會(huì)改變幾何圖形使T型樣條自然成為在OFFD中實(shí)現(xiàn)并實(shí)現(xiàn)局部變形的理想選擇。

T形樣條在OFFD中的應(yīng)用

最后一節(jié)介紹了T樣條的理論背景和在局部變形中使用它的優(yōu)點(diǎn)。本節(jié)介紹T形樣條在第2節(jié)簡(jiǎn)要介紹的自由形變系統(tǒng)優(yōu)化程序中的應(yīng)用。在我們的例子中，我們使用了與[1]中使用的設(shè)計(jì)路燈透鏡相同的光學(xué)設(shè)計(jì)任務(wù)。將具有100流明的Cree XPG2 LED用作光源，并且優(yōu)化前的初始表面如圖4所示。為了評(píng)估光度性能，應(yīng)用等式1和2中表達(dá)的評(píng)價(jià)函數(shù)。

要在OFFD中開始T-spline實(shí)現(xiàn)，必須在所需區(qū)域添加更多控制點(diǎn)，并且曲面形狀保持不變。在更多和更密集的控制點(diǎn)聚集的區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)更多的局部變形。然后進(jìn)行研究以發(fā)現(xiàn)變形過(guò)程對(duì)透鏡的哪個(gè)部分更多的影響，以及如果該部分上的敏感局部變形導(dǎo)致更好的結(jié)果。

整個(gè)光學(xué)表面分為六個(gè)部分，如圖4所示。此步驟基于直觀的假設(shè)。y方向的對(duì)稱性是由于目標(biāo)街道和燈停留在y方向的中間（圖5）。為了直接比較，選擇網(wǎng)格點(diǎn)[1,3,13,15]。更多的控制點(diǎn)被添加到從1到6的每個(gè)片段中。最后，生成了六個(gè)新的光學(xué)曲面。這些生成的新T樣條曲面與初始曲面之間的唯一區(qū)別是控制點(diǎn)數(shù)量的差異。光學(xué)器件的形狀保持不變，沒(méi)有任何預(yù)期的變化。這些光學(xué)表面一個(gè)接一個(gè)地作為OFFD的初始表面，并使用所述的優(yōu)點(diǎn)函數(shù)進(jìn)行評(píng)估。初步的結(jié)果表明，當(dāng)更多的控制點(diǎn)被添加到分段5時(shí)，可以看到對(duì)光分布的更多影響。因此，在分段5處具有更多控制點(diǎn)并且在其余分段處具有更少控制點(diǎn)的光學(xué)表面被視為用于優(yōu)化的初始系統(tǒng)并且與NURBS進(jìn)行比較。然后將這個(gè)結(jié)果與基于NURBS的OFFD進(jìn)行比較，結(jié)果在下一節(jié)中討論。

初始系統(tǒng)

的性能初始表面的光學(xué)性能如圖6所示，只有目標(biāo)內(nèi)部總通量的15％，并且分布形狀遠(yuǎn)離需要的標(biāo)記為白色的矩形分布。

NURBS與T樣條的比較

用于比較用于分析街道照明鏡頭的NURBS和T-splines的兩個(gè)重要光度測(cè)量方法是目標(biāo)中的總光通量，并且均勻照明分布在目標(biāo)上。NURBS和T-splines在同一水平上執(zhí)行目標(biāo)中的總光通量，發(fā)現(xiàn)其為55％，如圖7b和7d所示，產(chǎn)生40％的改善（Δn）。但是T樣條在根據(jù)需要塑造目標(biāo)分布方面的表現(xiàn)要優(yōu)于圖7a中的模擬結(jié)果。如圖7b所示，使用T樣條的照度分布比具有NURBS的分布更均勻。使用NURBS和T樣條的變形光學(xué)曲面如圖8所示。略微不同的是在邊緣附近的T型樣條，在圖4中標(biāo)記為段5。

如果使用NURBS需要獲得相同的結(jié)果，則網(wǎng)格中的控制點(diǎn)對(duì)用戶的選擇更為敏感。當(dāng)準(zhǔn)確選擇時(shí)，可以獲得這些結(jié)果，但代價(jià)是優(yōu)化的運(yùn)行時(shí)間很長(zhǎng) - 幾乎是使用T樣條所需時(shí)間的兩倍。使用T樣條的最大優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)用戶知道光學(xué)表面的局部變形部分時(shí)，他可以對(duì)網(wǎng)格中控制點(diǎn)的選擇產(chǎn)生最小的困擾。

結(jié)論

這項(xiàng)工作突出了T形樣條的使用，通過(guò)在優(yōu)化程序中首次實(shí)現(xiàn)光學(xué)曲面的局部變形。結(jié)果表明，使用T樣條可以獲得比NURBS更均勻的光分布。當(dāng)使用T型樣條時(shí)，F(xiàn)FD網(wǎng)格點(diǎn)的靈敏度會(huì)降低。這對(duì)智能優(yōu)化系統(tǒng)非常重要。由于T樣條曲線是更高級(jí)的曲面表示，所以它尚未成熟。CAD技術(shù)和光線追蹤器尚未達(dá)到導(dǎo)入的程度，并且直接使用T-splines文件格式。所以在本文發(fā)表時(shí)，人們?nèi)匀恍枰揽縏樣條向NURBS的前后轉(zhuǎn)換來(lái)執(zhí)行光線追蹤。另一個(gè)限制因素，但并不是很大，因?yàn)榭刂泣c(diǎn)必須在需要的地方更精確地加入。