補(bǔ)碼就是正數(shù)的原碼的相反數(shù)的另一種編碼方式。它能把字長內(nèi)的正數(shù)，補(bǔ)足為全是0。

補(bǔ)碼的意義：

現(xiàn)實(shí)生活中，我們有加法、減法、乘法和除法，但在計算機(jī)中只有一個加法器。換句話說，加法運(yùn)算在計算機(jī)中可以直接完成，減法、乘法和除法運(yùn)算最終也得轉(zhuǎn)換為加法才能實(shí)現(xiàn)，說到這里，可以有些初學(xué)者會想，為什么計算機(jī)中不設(shè)計一個類似于“加法器”的“減法器”或者“乘法器”的部件，主要原因是在生活中看似一些很簡單的東西要用電路來實(shí)現(xiàn)都很復(fù)雜、很困難的，再說如果用一個加法器可以實(shí)現(xiàn)其它運(yùn)算，其它的“加法器”、“減法器”或者“乘法器”也就沒有必要了，這樣還能使電路的設(shè)計更簡單。好了，現(xiàn)在我簡要地說一下補(bǔ)碼在計算機(jī)中的意義，計算機(jī)不能直接做減法，必須把相應(yīng)的減法變成加法，才能進(jìn)行計算。然而我們發(fā)現(xiàn)，一個數(shù)減去另外一個數(shù)，與一個數(shù)加上“另外一個數(shù)的補(bǔ)碼”結(jié)果是一樣的。這就是補(bǔ)碼對于計算機(jī)的意義：將減法運(yùn)算變成了加法運(yùn)算。

補(bǔ)碼有什么用？

正數(shù)的補(bǔ)碼，就是基本身

負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼，就是原碼按位取反加1

符號位，就是最高位，最左面的第一位；其它位，就是剩下的7位

由于運(yùn)算器進(jìn)行加法是最快的，因此，使用補(bǔ)碼是為了加快計算

碼”和“數(shù)”是兩個東西。

我們平時說出或?qū)懗瞿场皵?shù)”，一般都是在十進(jìn)制下，用10個不同的“碼”（此處的“碼”還和原碼補(bǔ)碼反碼的概念不同）來表示。分別是0~9。超過9，也就是比最大的碼還大的數(shù)，采用進(jìn)位的方式來表示。于是有了“位”的概念。即個位，十位，百位等等。

表達(dá)負(fù)數(shù)的時候由于為了與算術(shù)和代數(shù)符號當(dāng)中減號或作差相互兼容，就在該數(shù)前面加上減號。

這種對一個數(shù)的寫法也可以被名門為一種編碼方式。在這種編碼方式下每個數(shù)都有一定的“位數(shù)”，即“長度”。在計算機(jī)當(dāng)中規(guī)定一定的位數(shù)稱作“字長”，比如4位，8位，16位，32位等等。只不過，計算機(jī)的物理存儲數(shù)據(jù)是二進(jìn)制方式。我們?nèi)祟惸壳皞鹘y(tǒng)的還是比較喜歡用10進(jìn)制方式。并且，我們?nèi)祟愐话悴粫跁鴮憯?shù)字的時候遇到“字長”的概念。但是在念數(shù)字和記錄數(shù)據(jù)的時候，有一點(diǎn)點(diǎn)東西跟字長相關(guān)。比如西方愛把數(shù)據(jù)分成三位一組三位一組的方式，覺得比較好記憶。比如12‘000讀成十二千，我們中國人愛以“萬”為字長，1’2000，讀作一萬二千。舉這個例子表示字長的概念不是很恰當(dāng)。因?yàn)閷θ硕赃@只是一種表達(dá)習(xí)慣。但是對機(jī)器而言，“字長”則是計算的長度單位。設(shè)計計算機(jī)進(jìn)行最簡單的加法運(yùn)算，首先要考慮的就是加法器進(jìn)行一次加法運(yùn)算，位數(shù)是多長？加法器設(shè)計成多少位的加法器？等等。這就是計算機(jī)的字長。它和編碼方式一起，構(gòu)成了計算機(jī)進(jìn)行計算的基礎(chǔ)。

有了字長的概念才好說補(bǔ)碼。

在十進(jìn)制下也有補(bǔ)碼的概念。插一句，談到補(bǔ)碼一定要先明確字長的長度。

補(bǔ)碼是用來表示負(fù)數(shù)的一種編碼方式。也是為了在計算機(jī)的核心加法器部分的設(shè)計避免減法操作，存儲數(shù)據(jù)的時候避免存儲負(fù)號。

舉個例子，假如我們模擬一個字長為4位的十進(jìn)制計算機(jī)。（假設(shè)有某種機(jī)制，可以在1位上有10種穩(wěn)定的狀態(tài)）

對兩個數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算：1234 和 -1234

如果用原碼，那么我們需要用一個1位的寄存器來存儲和表示負(fù)號。假設(shè)就在4位的最左邊的最高位前用1表示負(fù)號，0表示正號。

則，原碼表示上面兩個數(shù)：

0 1234

1 1234

然后計算機(jī)做求和，做加法的過程中。計算機(jī)發(fā)現(xiàn)，其中有一個數(shù)是負(fù)數(shù)，于是要切換為兩個正數(shù)相減的模式來運(yùn)算。這很不方便。

于是，補(bǔ)碼被想出來了。

-1234和正1234相加不是等于0000嗎？在4位的字長當(dāng)中的數(shù)，和1234相加為0000的，是不是唯一的一個數(shù)哪？很明顯8766和1234相加等于1‘0000，后4位是0000。

那么，8766就可以看著是-1234的一種編碼表示方式，被稱作“補(bǔ)碼”。

所以，補(bǔ)碼就是把數(shù)1234在一個字長內(nèi)，補(bǔ)足為1’0000的數(shù)的編碼方式。也就是一個正數(shù)的相反數(shù)，在計算機(jī)內(nèi)的表達(dá)方式。

加上符號位，正數(shù)0‘1234的相反數(shù)的補(bǔ)碼表示就是1’8766。

十進(jìn)制里，-1234的反碼就是1‘8765

所以，現(xiàn)在回到4位字長的2進(jìn)制計算機(jī)里來看。補(bǔ)碼和反碼的構(gòu)成方式是一樣的。0’0001的相反數(shù)是-1。

補(bǔ)碼表示1‘1111

反碼表示1’1110

補(bǔ)碼是誰發(fā)明的

誰發(fā)明的未知，但根據(jù)wikipedia上的說法，最初是馮諾依曼引入到計算機(jī)的。

很早以前，許多計算機(jī)的內(nèi)部數(shù)值編碼是用的反碼，反碼這玩意有缺點(diǎn)： 它的值域內(nèi)有-0和+0，一個數(shù)與它的補(bǔ)數(shù)相加為-0，這給運(yùn)算帶來一些麻煩。

補(bǔ)碼就沒有這些問題，不但只有一個0，而且補(bǔ)碼的加減乘法都可以化簡為加法一種方式。 所以在計算機(jī)里補(bǔ)碼對簡化運(yùn)算器有很大的作用。

補(bǔ)碼的回顧以及補(bǔ)碼發(fā)明的思路推演思考

補(bǔ)碼與求補(bǔ)運(yùn)算的定義

N個二進(jìn)制位，M=N-1

通過一種編碼映射。100.。.00 - 111.。.11 表示 （-2^M） - （-1） ; 000.。.00 - 011.。.11 表示 （0） - （2^M - 1）

對于編碼A的求補(bǔ) f（A） = （2^N）- A

原碼轉(zhuǎn)化成補(bǔ)碼：

對于正數(shù)和零，原碼即是補(bǔ)碼

對于負(fù)數(shù)A，一般理解方法：

先做反碼，然后編碼意義上加1

求補(bǔ)運(yùn)算的意義：

換言之，若要對一個數(shù)A求反，對那個數(shù)的補(bǔ)碼A1做一次求補(bǔ)運(yùn)算f（A1），所求的補(bǔ)碼B1就是原來數(shù)A的相反數(shù)B的補(bǔ)碼。

這里提供原碼轉(zhuǎn)化成補(bǔ)碼另外一個理解方法

對于求負(fù)數(shù)A的補(bǔ)碼

本質(zhì)上，負(fù)數(shù)A的相反數(shù)B，B是正數(shù)，B的原碼B1就是B的補(bǔ)碼，A的補(bǔ)碼就是f（B1）

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機(jī)器實(shí)現(xiàn)：

x-y = x-1-y+1 = （x-1） - y + 1

在補(bǔ)碼的轉(zhuǎn)碼中，這里的x=2^N

這里的（x-1） - y即使對y進(jìn)行反碼操作，在ALU中可以N位同時刷新

至于N位整數(shù)+1，有一定的進(jìn)位延時。

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邊界情況：

容易看到，我們對-2^N求反，仍然是-2^N

對2^N-1求反，則是-（2^N）-1

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利用補(bǔ)碼這種編碼性質(zhì)

f（y） = -y

x + y = x + y

x - y = x + f（y）

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馬后炮：事后猜測補(bǔ)碼發(fā)明的思路， 從而看補(bǔ)碼的優(yōu)勢

先看正碼表示，設(shè)N=4， -1 = 1001; -2 = 1010， -1 》 -2， 但是 1001 《 1010，兩種映射的編碼的序性不一致

反碼呢，-1=1110， -2 = 1101， Ok，序性正確了，

然而，這里有一個問題，就是正數(shù)與負(fù)數(shù)之間，有一個1的縫隙。-1=1110， 1=0001，從循環(huán)編碼的角度，這兩個編碼相差3：1110-》1111-》0000-》0001。

因?yàn)檎愫拓?fù)零是兩個數(shù)，導(dǎo)致兩個數(shù)系的斷裂。怎么辦？讓負(fù)數(shù)整體往正數(shù)靠攏，邁進(jìn)一步（+1），負(fù)1沒有了。

這就是求補(bǔ)的過程了。反碼再加1。

我想，當(dāng)初寫出計算機(jī)的編碼設(shè)計論文的大牛（好像是圖靈還是什么的），當(dāng)然有更深的考慮。但從序性和數(shù)系聯(lián)系的角度，補(bǔ)碼的發(fā)明是相當(dāng)合理的。而這種合理性，我個人認(rèn)為，正是其優(yōu)點(diǎn)。

從機(jī)器實(shí)現(xiàn)的角度，并不算復(fù)雜，但相對反碼的機(jī)器實(shí)現(xiàn)，還是多了+1的進(jìn)位延時。

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int與unsigned int的思考

順便，我也整理一下這里的誤區(qū)。

如果聲明變量a為int，但是卻當(dāng)作unsigned int，如果正常累加超出范圍，轉(zhuǎn)化成unsigned int結(jié)果應(yīng)該還是可信的。

不過算了，我們利用好轉(zhuǎn)換和保證類型的一致，這些底層的問題我們確實(shí)還是當(dāng)作透明為好。