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完整的Smith阻抗圓圖總結(jié)

射頻美學(xué) ? 來源:射頻美學(xué) ? 2023-11-19 15:08 ? 次閱讀
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導(dǎo)讀:文章從8個小節(jié)詳講,分為,1.關(guān)于Smith圓圖;2.等反射系數(shù)圓;3.等反射系數(shù)圓的分析;4.歸一化阻抗圓;5.電阻圓;6.電抗圓;7.完整的Smith阻抗圓圖總結(jié);8.導(dǎo)納圓圖。

1.關(guān)于Smith圓圖

Smith圓圖是1939年由P.Smith在貝爾電話實驗室工作時開發(fā)的。

史密斯圓圖由兩族圓組成:等反射系數(shù)圓、歸一化阻抗圓圖。歸一化阻抗圓又包含了電阻圓、電抗圓兩種。

2.等反射系數(shù)圓

首先線上任意一點的反射系數(shù)等于下式:

9e639f86-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

注意:典型的傳輸線系統(tǒng)如下,只要寫的是z’,表示的是從負載端為坐標(biāo)起點。另外z’/λ也就是電長度。

9e694df0-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

上面的反射系數(shù)式子,用實部和虛部的形式表示為:

9e74e9e4-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

用模的形式表示,有:

9e875e80-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

如果以Гu為橫軸(可以理解為x軸),Гv為縱軸(可以理解為y軸),畫圖,那么上式就就是以原點為圓心,反射系數(shù)的幅值|Г|為半徑的圓。這個圓就是等反射系數(shù)圓。如下圖:

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3.等反射系數(shù)圓的分析

根據(jù)反射系數(shù)的計算公式:

9e97b6a4-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

當(dāng)終端短路時,即Zl=0。此時反射系數(shù)Гl就為-1。-1也就是1ejπ。所以,短路點在坐標(biāo)軸中的位置為(-1,0),即實部為-1,虛部為0,在圓圖中的最左邊的一點。

當(dāng)終端開路時,即Zl為無窮大,根據(jù)上式兩個相等的無窮大比值就為1。此時反射系數(shù)Гl就為1。1也就是1ej0。所以,開路點在坐標(biāo)軸中的位置為(1,0),即實部為1,虛部為0,在圓圖中的最右邊的一點。

當(dāng)終端接負載等于傳輸線特性阻抗(Z0=Zl),此時反射系數(shù)就為0。所匹配點在圓心(0,0)的位置。

因為反射系數(shù)的模值范圍是:0≤|Г|≤1,所以等反射系數(shù)圓是一族以原點為圓心的同心圓,最小圓的半徑為0,此處為匹配點。最大圓的半徑為1,這個圓代表著全反射。

再根據(jù)下式來分析幅角θ。θ是從坐標(biāo)原點出發(fā),終止于單位圓的射線,并規(guī)定單位圓與正實軸的交點為θ=0°,從該點逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,θ從0°增加到360°。

9ea625cc-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

9eae015c-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

反射系數(shù)的幅角的變化與傳輸線上兩點間的電長度△z’/λ有關(guān),因此通常可以用電長度來表示幅角。當(dāng)z’=λ/4時,幅角-2βz’就等于-π。因此,半個圓周就相當(dāng)于0.25λ,整個圓周相當(dāng)于0.5λ。

另外,z’為正的時候,幅角θ為負數(shù),也就是順時針。注意前面說過,只要寫的是z’,表示的是從負載端為坐標(biāo)起點。所以,在圓圖中順時針轉(zhuǎn)的時候,就是從負載向電源端轉(zhuǎn),逆時針就是向負載轉(zhuǎn)。

9ebb226a-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

4.歸一化阻抗圓

實際的阻抗等于下式,注意Zc是特性阻抗,有時也用Z0表示,一般無耗傳輸線用Zc。

9ec9dbac-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

歸一化的阻抗寫成下式:

9ed3842c-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

反射系數(shù)Г在前面已經(jīng)用下式表示:

9edd47b4-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

所以把上式代入到z,就可以得到z關(guān)于Гu和Гv的等式。將z也寫成實部和虛部的形式:

9ee73c38-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

其中,把代入后得到的r和x值求出來,得到:

9ef71d92-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

把上面兩個式子,再整理一下,就有了以下的式子:

9f092eb0-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

還是以Гu為橫軸,Гv為縱軸,這兩個方程都是圓的方程。畫圓,當(dāng)歸一化的電阻r取不同常數(shù)時,第一個式中畫出來的一族圓,就稱為歸一化電阻圓,第二個式子畫出的圓為電抗圓。

5.電阻圓

9f13779e-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

當(dāng)Гu =1,Гv=0時,上式恒成立。所以不管r等于多少,這些圓都恒過(1,0)坐標(biāo)點。

9f1dbd3a-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

分析電阻圓的公式,圓心為(r/(1+r),0),半徑為1/(1+r)。r越大,對應(yīng)的等電阻圓的半徑就越小。電阻r的范圍是0≤r<∞。

9f2f4bcc-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

6.電抗圓

9f370538-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

圓心為(1,1/x),半徑為1/|x|,注意電阻r不可能有負的電阻,但x可正可負。x為正,代表感性,x為負,代表容性。所以可以畫出來兩組,而且恒過(1,0)點,如下所示:

9f43199a-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

由于反射系數(shù)的限制,所以上圖彩色圓的部分只有虛線內(nèi)的才是可以用的。所以得到的電抗圓圖如下所示:

9f56963c-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

7.完整的Smith阻抗圓圖總結(jié)

將上述的等反射系數(shù)圓、等歸一化的電阻圓、等歸一化的電抗圓重疊在一起,就構(gòu)成了完成是阻抗圓圖,又稱史密斯圓圖。

根據(jù)以上對圓圖構(gòu)成的分析,可以得到以下的結(jié)論:

(1)圓圖的中心點對應(yīng)于Г=0,r=1(即Zl=Zc),x=0,ρ=1,是匹配點。

(2)實軸上的所有點(兩端點除外)表示為純歸一化電阻。這是因為當(dāng)x等于0時,電抗圓的半徑為∞,等電抗圓退化為實軸。

(3)實軸左端點對應(yīng)的Г= -1,z=0,故該點是短路點。

(4)實軸右端點對應(yīng)的Г= 1,z=∞,故該點是開路點。

(5)圓圖的單位圓對應(yīng)于Г= 1,r=0,z = jx,所以該圓為純歸一化電抗圓。

(6)實軸以上x>0,所以上半圓各點代表各種不同數(shù)值的感性阻抗。

(7)實軸以下x<0,所以下半圓各點代表各種不同數(shù)值的容性阻抗。

(8)圓圖的右半實軸(幅角θ=0°)上的點對應(yīng)于傳輸線上電壓的同相位點,所以的電壓波腹點(電流波節(jié)點),r的值即為電壓駐波系數(shù)ρ的值。左半實軸對應(yīng)電流波腹點(電壓波節(jié)點),即電流的同相位點。

(9)圓圖最外圈標(biāo)有電長度的刻度,阻抗圓圖上的電尺寸刻度的起算點在實軸的左端點。圈外刻度順時針轉(zhuǎn),即“向波源方向”。逆時針轉(zhuǎn),是“向負載方向”。

(10)串聯(lián)電感:順時針沿電阻圓移動。

因為電感和電容都只影響復(fù)阻抗,所以實部電阻是不變的,仍然在恒阻圓上。同時,電感的感抗jωL為正,串聯(lián)電感,電感增大,感抗增大。由于電抗圓中,順時針的感抗是增大的(可看上面電抗圓圖中x=0.5,x=1,x=2,x=4的位置,順時針時候感抗是增大的),所以串聯(lián)電感是沿著電阻圓、順時針轉(zhuǎn)。

(11)串聯(lián)電容:逆時針沿電阻圓移動。

串聯(lián)電容,電容是減小的,容抗減?。ㄘ摰母嗔耍?,所以逆時針轉(zhuǎn)。

(12)并聯(lián),一般在導(dǎo)納圓圖中轉(zhuǎn),具體見下文的導(dǎo)納圓圖。此時:

并聯(lián)電感:沿著電導(dǎo)圓、逆時針移動。

并聯(lián)電容:沿著電導(dǎo)圓、順時針移動。

8.導(dǎo)納圓圖

傳輸線上并聯(lián)元件或并聯(lián)分支線,用導(dǎo)納計算要比阻抗計算方便,用于導(dǎo)納計算的圓圖稱為導(dǎo)納圓圖。

因為導(dǎo)納Y是阻抗Z的倒數(shù),所以傳輸線上歸一化的導(dǎo)納為:

9f5fe246-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

上式也可寫做:

9f770d5e-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

這個式子和阻抗圓圖的表達形式完全一樣,只是將原來電壓反射系數(shù)Г換成了電流反射系數(shù)ГI。因此,導(dǎo)納圓圖和阻抗圓圖的圖形完全相同,只是將阻抗圓圖作為導(dǎo)納圓圖使用時,應(yīng)將阻抗圓圖中的r、x和Г相應(yīng)地換位g,b和ГI。

在將阻抗圓圖作為導(dǎo)納圓圖使用時,因為ГI= -Г,所以原來阻抗圓圖實軸上的電壓波腹點和電壓波節(jié)點的位置,在導(dǎo)納圓圖實軸上分別是電壓波節(jié)點和電壓波腹點的位置。原來阻抗圓圖上的開路點和短路點的位置,在導(dǎo)納圓圖上對應(yīng)短路點和開路點的位置。原來阻抗圓圖上的電尺寸刻度的起算點在實軸的左端點,在導(dǎo)納圓圖上在實軸的右端點。兩圓圖的匹配點都是左邊原點。

另外可在圓圖上由歸一化的阻抗求歸一化的導(dǎo)納。當(dāng)位置z’=l時,阻抗和導(dǎo)納有下列的等式:

9f8bb1e6-86a7-11ee-939d-92fbcf53809c.png

所以傳輸線上任意點z’=l處的歸一化輸入阻抗與間隔λ/4位置處的歸一化導(dǎo)納是相等的。所以可在阻抗圓圖上找到阻抗對應(yīng)的點,沿著等反射系數(shù)圓將此點旋轉(zhuǎn)180°,相當(dāng)于z’變化了λ/4,就得到了導(dǎo)納對應(yīng)的點值。

編輯:黃飛

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原文標(biāo)題:一文徹底讀懂Smith圓圖

文章出處:【微信號:射頻美學(xué),微信公眾號:射頻美學(xué)】歡迎添加關(guān)注!文章轉(zhuǎn)載請注明出處。

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