實(shí)際樣品中，并不能直接觀察到不同的晶體學(xué)方向或晶面，只能看到晶粒的形貌。這就要求確定晶體的不同方向與宏觀樣品可觀察到的特征方向間的關(guān)系，簡言之，就是要確定晶體坐標(biāo)系與外界樣品坐標(biāo)系的關(guān)系，這就是取向的概念。

晶體取向的表示方法通常有數(shù)字表示方法（如密勒指數(shù)、矩陣等）和圖形表示法。

本篇推文主要給大家介紹一下晶體取向的圖形表示法。

01

取向用極圖表示

極圖是表示某一取向晶粒的某一選定晶面{hkl}在包含樣品坐標(biāo)系方向的極射赤面投影圖上的位置的圖形。例如，一個取向的{100}極圖是將該取向的晶胞的3個{100}晶向的極射赤面投影位置表示出來，見下圖：

其基本過程是：小單胞處在參考球中心，其任意的方位表示其對外界參考系（RD-ND-TD）的取向，這時其（hkl）面平行于軋面（RD-TD組成），其[uvw]平行于RD。

現(xiàn)在要用3個{100}極點(diǎn)表示單胞相對于樣品坐標(biāo)系的取向，即看它的3個{100}點(diǎn)在極圖上的位置。

由3個{100}點(diǎn)的位置，應(yīng)可聯(lián)想其單胞的空間方位。當(dāng)然，這需要反復(fù)的練習(xí)。

當(dāng)用圖c中的極角α，β表示極軸r在樣品坐標(biāo)系下的坐標(biāo)時（α是極軸r與ND的夾角，β是極軸r在軋面上的投影線與RD的夾角），r可表達(dá)為：

S1,S2,S3是RD,TD,ND方向的單位矢量。

同時r又可在晶體坐標(biāo)系下表達(dá)為：

r=xc1+yc2+zc3。

c1，c2，c3是[100][010][001]方向的單位矢量，(x,y,z)經(jīng)過了歸一化處理。

這時，極軸的極角r坐標(biāo)（α，β）、晶體坐標(biāo)(x,y,z)和取向矩陣gij的關(guān)系為：

從上式可求出極軸（x,y,z）在極圖上的位置。

另外要注意的是，求出的極角（α，β）用吳氏（Wulff）網(wǎng)標(biāo)在極圖中就是極射赤面投影圖，也就是最常用的極圖。若用Schmid網(wǎng)標(biāo)在極圖中就是等面積投影圖。

02

反極圖

與極圖相反，反極圖是描述多晶體材料中平行于材料的某一外觀特征方向的晶向在晶體坐標(biāo)架的空間分布的圖形，參考坐標(biāo)架的3個軸一般取晶體的3個晶軸（或低指數(shù)的晶向）。

作反極圖時將設(shè)定的外觀特征方向（如ND）的晶向標(biāo)于其中，從而反映該外觀特征方向在晶體學(xué)空間的分布。

類似極圖中兩個坐標(biāo)系下取向矩陣與極角和極軸的關(guān)系，反極圖下也有下列關(guān)系：

（x,y,z）是某一晶軸r在樣品坐標(biāo)系（RD,ND,TD）中的坐標(biāo)。（δ,γ）是r在晶體坐標(biāo)系[100]-[010]-[001]構(gòu)成的極圖中的極角坐標(biāo)。這里使用的是取向矩陣，而不是逆矩陣。

嚴(yán)格來講，反極圖也應(yīng)用大圓表示，但通常用以<100>-<110>-<111>組成的取向三角形表示。這是將取向?qū)ΨQ化處理的結(jié)果。否則[-100]方向是用[001]-[101]-[111]取向三角形表示不出來的。

銅型取向（112）[11-1]。要用兩個反極圖表示，見上圖a，b。這里RD=[11-1]是等效表示。因?yàn)橐粋€反極圖中只能標(biāo)出一個方向。圖c為熱壓縮剛等距離測出的400個取向的反極圖表達(dá)，只標(biāo)出每個取向中ND方向的分布。多數(shù)晶粒已轉(zhuǎn)到<001>和<111>取向。

03

歐拉取向空間的表示

歐拉角表示3個轉(zhuǎn)動，范圍是（0~2π）、（0~2π）、（0~2π），顯然具有周期性，即：g=f（ψ1,Φ,ψ2）=f（ψ1+2π,Φ+2π,ψ2+2π）。但還存在關(guān)系：f（ψ1,Φ,ψ2）==f（ψ1+π,2π-Φ,ψ2+π），即在Φ等于π時存在一個鏡面對稱性。因此，歐拉空間范圍是（0~2π）、（0~π）、（0~2π）。晶體對稱性和樣品對稱性會進(jìn)一步減小歐拉空間范圍。

對立方晶系中的銅取向（90,35,45），如下圖所示：雖然簡單，但不如二維圖形表達(dá)得直觀易懂。

歐拉取向空間的表示

04

羅德里格斯矢量

羅德里格斯矢量或角軸對都是三維矢量，也可以用圖形表示。對單個角軸對，軸的位置可用類似反極圖的取向三角形表示，角度只是一個數(shù)字，不需要用圖形表示。而R矢量要表示在羅德里格斯空間中。這兩種取向表示方法更適合描述晶粒間的取向差分布。

立方結(jié)構(gòu)晶體的R空間（a）及簡化空間（b）

最小單元體是原立方體的1/48 （c）

審核編輯：劉清