沖激函數(shù)時(shí)移后的傅里葉變換

傅里葉變換（Fourier transform）是數(shù)學(xué)中的一種重要的分析工具，它能夠?qū)⒁粋€(gè)時(shí)域（time domain）或空域（space domain）中的函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻域（frequency domain）中的函數(shù)，也就是對(duì)于一個(gè)連續(xù)函數(shù) $f(x)$，其傅里葉變換定義為：

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}dx$$

其中，$\omega$ 是頻率，$i=\sqrt{-1}$ 是虛數(shù)單位?？梢钥吹?，傅里葉變換實(shí)質(zhì)上是在將一個(gè)函數(shù)拆分為其所包含的各個(gè)頻率分量。因此，通過傅里葉變換，我們可以獲得一個(gè)信號(hào)所包含的所有頻率成分，以及它們的振幅和相位信息。傅里葉變換在信號(hào)處理、圖像處理、通信系統(tǒng)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。

而沖激函數(shù)是一種具有瞬時(shí)作用的極短時(shí)信號(hào)，它的傅里葉變換是一個(gè)常數(shù)。沖激函數(shù)可以表示為：

$$\delta(x) = \begin{cases}
0, & x \neq 0 \\
\infty, & x = 0
\end{cases}$$

由于沖激函數(shù)具有瞬時(shí)作用，因此，將沖激函數(shù)沿著時(shí)間軸平移（time shifting）一段時(shí)間 $t_0$ 后得到的函數(shù)為：

$$\delta(x - t_0)$$

現(xiàn)在來看一下，沖激函數(shù)時(shí)移后的傅里葉變換。根據(jù)傅里葉變換的定義，有：

$$\begin{aligned}
F(\omega) &= \int_{-\infty}^\infty \delta(x - t_0) e^{-i\omega x}dx \\
&= e^{-i\omega t_0}
\end{aligned}$$

由此，我們可以看到，盡管時(shí)間軸上的沖激函數(shù)會(huì)因?yàn)闀r(shí)移而發(fā)生改變，但其傅里葉變換卻只發(fā)生了相位上的改變。這是因?yàn)椋道锶~變換的本質(zhì)就是將一個(gè)函數(shù)分解為各個(gè)頻率成分，而沖激函數(shù)的傅里葉變換只與其自身內(nèi)部的結(jié)構(gòu)有關(guān)，而和外界的變化是無關(guān)的。

需要注意的是，當(dāng) $t_0$ 為負(fù)數(shù)時(shí)，沖激函數(shù)的時(shí)移實(shí)質(zhì)上就是將其在時(shí)間軸上的位置向右移動(dòng)。由于傅里葉變換是對(duì)于整個(gè)時(shí)間軸上的函數(shù)進(jìn)行分解的，因此其傅里葉變換仍然是 $e^{-i\omega t_0}$。另外，當(dāng)時(shí)間軸上的函數(shù)是第一類傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，其傅里葉變換中所包含的頻率成分是離散的，此時(shí)，時(shí)間軸上的沖激函數(shù)時(shí)移后的傅里葉變換也是相位的改變。但當(dāng)時(shí)間軸上的函數(shù)是傅里葉變換式時(shí)，則其傅里葉變換中所包含的頻率成分是連續(xù)的，此時(shí)，時(shí)間軸上的沖激函數(shù)時(shí)移后的傅里葉變換也是相位的改變。

總之，沖激函數(shù)是一種特殊的信號(hào)，它的傅里葉變換與其自身結(jié)構(gòu)有關(guān)，而與外界的變化是無關(guān)的。在實(shí)際應(yīng)用中，時(shí)移常常會(huì)發(fā)生，比如說，當(dāng)信號(hào)經(jīng)過傳輸或?yàn)V波等處理后，其時(shí)間軸上的位置會(huì)發(fā)生改變。因此，對(duì)于時(shí)移后的信號(hào)，我們可以通過傅里葉變換來獲得其頻率信息，并進(jìn)一步進(jìn)行分析和處理。