1、定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)的概念

定點(diǎn)數(shù)，小數(shù)點(diǎn)位置固定不變，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)其小數(shù)點(diǎn)固定的位于所有數(shù)字中間的某個(gè)位置，比如貨幣的表達(dá)，規(guī)定了使用2位整數(shù)位+2位小數(shù)表示的模式，具體數(shù)據(jù)如99.00、10.55、68.66等。定點(diǎn)數(shù)的缺點(diǎn)：由于小數(shù)點(diǎn)位置固定不變，定點(diǎn)數(shù)所表示的數(shù)的范圍非常有限，不能同時(shí)表達(dá)特別大或特別小的數(shù)，所以才出現(xiàn)了浮點(diǎn)數(shù)，以此來擴(kuò)充數(shù)的范圍，同時(shí)浮點(diǎn)數(shù)也廣泛應(yīng)用于精度要求高的場(chǎng)合。簡(jiǎn)單的理解浮點(diǎn)數(shù)：首先浮點(diǎn)數(shù)小數(shù)點(diǎn)位置不固定，小數(shù)點(diǎn)是浮動(dòng)的，其次浮點(diǎn)數(shù)提供了一種高效的數(shù)據(jù)表達(dá)方法，這種表示方法既可以表達(dá)很小的數(shù)據(jù)比如：3.14159、0.06789，也可以表達(dá)很大的數(shù)據(jù)比如：8.99910^20、510^25。

數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中的存儲(chǔ)分為整型（char(8bit)、short(16bit)、int(32bit)、long(32bit)、long long(64bit)）和浮點(diǎn)型（float(32bit)、double(64bit)），計(jì)算機(jī)中不可能存儲(chǔ)“無窮大”的數(shù)，也不能存放循環(huán)小數(shù)。（注：循環(huán)小數(shù)按照浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)則存儲(chǔ)），例如C程序中計(jì)算和輸出1/3：

printf("%f",1/3.0);

得到的結(jié)果是：0.333333，只能得到6位小數(shù)，而不是理論計(jì)算的無窮位的小數(shù)。

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圖1-1、C語言中的浮點(diǎn)數(shù)數(shù)據(jù)類型

2、浮點(diǎn)數(shù)的結(jié)構(gòu)

通過圖1-1，我們知道單精度浮點(diǎn)數(shù)(float)的取值范圍為：-3.4E38 - -3.4E38，雙精度浮點(diǎn)數(shù)(double)的取值范圍是：-1.7E308 - 1.7E308，精度再高一些表示為：-1.79E308 - 1.79E308。C語言中定義相應(yīng)的浮點(diǎn)數(shù)float和double變量以后，在編譯器的幫助下即可參與相應(yīng)的運(yùn)算，那么浮點(diǎn)數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)又是如何呢？下文將詳細(xì)講解。

float   a = 4.5;
double  b = 3.5e2,c;
c =  a*b;

在IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定了浮點(diǎn)數(shù)的表達(dá)方式，浮點(diǎn)數(shù)的存儲(chǔ)方式是以2為底數(shù)的表達(dá)方式。浮點(diǎn)數(shù)的表達(dá)中將數(shù)據(jù)表達(dá)的二進(jìn)制序列分為符號(hào)位，指數(shù)位和小數(shù)位三個(gè)區(qū)域。浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)表達(dá)式如下：

x = （-1） ^s *（1.m）* 2^e;
表達(dá)32bit的浮點(diǎn)數(shù)時(shí)e = E-127；表達(dá)64bit的浮點(diǎn)數(shù)時(shí)e = E-1023，這里的127和1023稱為偏移量。
公式中：
s表示符號(hào)位：正數(shù)為0，負(fù)數(shù)為1；
e表示指數(shù)位：存儲(chǔ)指數(shù)加上偏移量，偏移量是為了表達(dá)負(fù)數(shù)而設(shè)計(jì)的；
m表示小數(shù)部分：存儲(chǔ)小數(shù)部分的準(zhǔn)確值或者接近的值；
注：類比科學(xué)計(jì)數(shù)法，以10為底數(shù)的表示方法中前面的系數(shù)都是小于10 的系數(shù)比如：8.bb*10^(x)；以2為底數(shù)的表示方法，前面的系數(shù)都是小于2的系數(shù)，比如：1.bb*2^(x)，前面還要符號(hào)位(-1)^s。

浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制序列表達(dá)式中特定寬度的區(qū)域劃分如下：

圖2-1、不同精度浮點(diǎn)數(shù)特定寬度區(qū)域劃分

3、浮點(diǎn)數(shù)二進(jìn)制序列與指數(shù)表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)化

比如10進(jìn)制表示的小數(shù)0.085（我們常說的小數(shù)在計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)系統(tǒng)中就是浮點(diǎn)數(shù)），其指數(shù)表達(dá)式為1.36*2^-4，其小數(shù)部分0.36使用了23位來表示。

圖3-1、10進(jìn)制小數(shù)與指數(shù)表達(dá)式的關(guān)系

在Matlab中,將浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)化為16進(jìn)制序列

>> a=single(0.085)
a =
  single
    0.0850
 >> num2hex(a)
ans =
3dae147b

將十六進(jìn)制序列 3dae147b(H)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制序列

001111011010111000010100011110（32bit:1位符號(hào)位+8位指數(shù)位+23位小數(shù)位）

符號(hào)位：0，表示正數(shù)；

指數(shù)部分：01111011，12^0+12^1+02^2+12^3+12^4+12^5+1*2^6 = 123；

小數(shù)部分：010111000010100011110，通過表3-1來拆分每個(gè)比特位所表達(dá)的數(shù)值。

表3-1、小數(shù)部分二進(jìn)制序列拆分

綜上：?jiǎn)尉雀↑c(diǎn)數(shù)0.085，使用指數(shù)表示的結(jié)果為：

(-1)^01.362^-4=1.36*2^-4，其中指數(shù)部分 e=123-127= -4，小數(shù)部分的0.36是23位二進(jìn)制序列所表達(dá)的數(shù)值之和。

3.1、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化舉例：

問題1： 十進(jìn)制表達(dá)的小數(shù)0.1254，（1）、求64bit雙精度浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)16進(jìn)制序列，（2）、用指數(shù)形式表示。

>>  a=double(0.1254)
a =
    0.1254
 >>  num2hex(a)
ans =
    '3fc00c435bd31c33'

雙精度浮點(diǎn)數(shù)16進(jìn)制序列為：64’h3fc00c435bd31c33

將16進(jìn)制數(shù)展開后，可得二進(jìn)制數(shù)格式為

0011 1111 1100 0000 0000 1100 0100 0011 0101 1011 1101 0011 0001 1100 0011 0011

符號(hào)位: bit[63] ------1位-----0---正數(shù)

指數(shù)部分： bit[62]-[52]------11位--011 1111 1100

指數(shù)部分求解十進(jìn)制結(jié)果：

> > 1*2^9+1*2^8+1*2^7+1*2^6+1*2^5+1*2^4+1*2^3+1*2^2
ans =
        1020
1020-1023=-3,浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)部分?jǐn)?shù)值-減去偏移量，得到實(shí)際指數(shù)表達(dá)式中的指數(shù)為-3。

小數(shù)部分：bit[51]-[0] - 共52bit：

0000 0000 1100 0100 0011 0101 1011 1101 0011 0001 1100 0011 0011

求53bit二進(jìn)制序列所表示的小數(shù)：

1*2^(-9)+1*2^(-10)+1*2^(-14)+1*2^(-19)+1*2^(-20)+1*2^(-22)+1*2^(-24)+1*2^(-25)+1*2^(-27)+1*2^(-28)+1*2^(-29)+1*2^(-30)+1*2^(-32)+1*2^(-35)+1*2^(-36)+1*2^(-40)+1*2^(-41)+1*2^(-42)+1*2^(-47)+1*2^(-48)+1*2^(-51)+1*2^(-52)
> > 1*2^(-9)+1*2^(-10)+1*2^(-14)+1*2^(-19)+1*2^(-20)+1*2^(-22)+1*2^(-24)+1*2^(-25)+1*2^(-27)+1*2^(-28)+1*2^(-29)+1*2^(-30)+1*2^(-32)+1*2^(-35)+1*2^(-36)+1*2^(-40)+1*2^(-41)+1*2^(-42)+1*2^(-47)+1*2^(-48)+1*2^(-51)+1*2^(-52)
ans =
    0.0030

得到浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)表達(dá)式：1.0030*2^(-3)。

驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果如下：

>> 1.0030*2^(-3)
ans =
    0.1254

Matlab中浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)為十進(jìn)制數(shù)：

>> a='3fc00c435bd31c33'
a =
'3fc00c435bd31c33'
 >> hex2num(a)
ans =
    0.1254

問題2十進(jìn)制表達(dá)的整數(shù)-5，（1）、求32bit單精度浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)16進(jìn)制序列，（2）、用指數(shù)形式表示。

>> a=single(-5)
a =
  single
    -5
 >> num2hex(a)
ans =
c0a00000

-5的浮點(diǎn)數(shù)表示為：

1100 0000 1010 0000000000000000000000

符號(hào)位：bit[31] --1位--1--負(fù)數(shù)

指數(shù)位：bit[30]-[23]--8位--10000001

>> 1*2^7+1*2^0
ans =
   129
指數(shù)數(shù)值-減去偏移量，得到指數(shù)為：129-127=2

小數(shù)位：bit[22]-[0]-23位：

0100000000000000000000000，

>> 0*2^-1+1*2^-2
ans =
    0.2500

所以-5的指數(shù)表達(dá)式為：（-1）1.252^2。

驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果如下：

>> -1*1.25*2^2
ans =
    -5

4、小數(shù)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)數(shù)

在FPGA 設(shè)計(jì)開發(fā)的過程中，如果需要使用小數(shù)參與相關(guān)運(yùn)算，這個(gè)時(shí)候就需要將小數(shù)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)數(shù)，因?yàn)镕PGA內(nèi)部只能處理定點(diǎn)數(shù)，不能處理小數(shù)，小數(shù)轉(zhuǎn)定點(diǎn)數(shù)的過程需要考慮符號(hào)位-整數(shù)位寬-小數(shù)位位寬。

假設(shè)將小數(shù)2.918量化為16bit的定點(diǎn)數(shù)，包含1bit符號(hào)位，3bit整數(shù)位，12bit小數(shù)位。16位數(shù)據(jù)能夠表示的最大正數(shù)為32767（2^15-1），能夠表示的最小負(fù)數(shù)為-32768。

圖4-1、C語言中部分?jǐn)?shù)據(jù)類型對(duì)應(yīng)的取值范圍

3bit整數(shù)位能夠表示的最大整數(shù)是7（3'b111），12位小數(shù)位能夠表示的數(shù)據(jù)的最小精度為：1/（2^12）=0.00024414，也就是說12位小數(shù)位只能表示0.00024414的整數(shù)倍，12位小數(shù)位能夠表達(dá)的最大小數(shù)為：

>> (2^12-1)*0.00024414
ans =
    0.9998

可以發(fā)現(xiàn)表示小數(shù)的位數(shù)越多，可以表示的小數(shù)范圍越大，表示的也越精準(zhǔn)。（小數(shù)定點(diǎn)量化過程中使用位寬的大小和數(shù)據(jù)精度的關(guān)系），表示小數(shù)部分0.918，需要的十進(jìn)制數(shù)值為：

>> 0.918/0.00024414
ans =
   3.7601e+03

也可以使用Matlab中的函數(shù)完成小數(shù)部分的量化。

>>  dec2bin(round(0.918*2^12),12)
ans =
111010110000
 >> bin2dec('111010110000')
ans =
        3760

所以小數(shù)2.918量化為16bit的定點(diǎn)數(shù)結(jié)果為：16'b0100111010110000

問題 ：將浮點(diǎn)數(shù)-3.125量化為8bit的定點(diǎn)數(shù)，包含1bit符號(hào)位，4bit整數(shù)位，3bit小數(shù)位。

方法1 ：針對(duì)負(fù)數(shù)-3.125，首先考慮其絕對(duì)值3.125，其符號(hào)位和整數(shù)部分5bit數(shù)據(jù)為：5'b00011，小數(shù)部分為0.125量化的結(jié)果為:

>> dec2bin(round(0.125*2^3),3)
ans =
001

所以，絕對(duì)值3.125量化8bit的結(jié)果為：8'b00011001

因?yàn)槭秦?fù)數(shù)，需要求其補(bǔ)碼，求補(bǔ)碼：按位取反再加1，

得到：8'b11100111,

方法2 ：8bit能夠表示的最大的數(shù)據(jù)是2^8，量化后的二進(jìn)制數(shù)據(jù)中包含3位小數(shù)位，計(jì)算過程中需要修正，使用公式如下：

> > dec2bin(round(2^8-abs(-3.125)*2^3),8)
ans =
11100111

得到量化后的結(jié)果為：8'b11100111。

5、ISE中使用float-point 核

將32bit的整數(shù)1234567890轉(zhuǎn)化為雙精度的浮點(diǎn)數(shù)。

調(diào)用floating-point-IP核并配置參數(shù)；

輸入的定點(diǎn)數(shù)據(jù)選擇自定義模式；設(shè)置為32bit整數(shù)位 - 0bit小數(shù)位，表明輸入數(shù)據(jù)只要整數(shù)位沒有小數(shù)位。

設(shè)置轉(zhuǎn)化后的浮點(diǎn)數(shù)為double 型；

后面的設(shè)置- 保持默認(rèn) -- 點(diǎn)擊 Generate。

verilog代碼實(shí)現(xiàn)如下：

module signed_2_floating(
input      wire                     sclk,
input      wire                     rst_n,
input     signed  [31:0]            data_in,
input      wire                     valid_in,
output     wire  [63:0]             floating_data,
output     wire                     valid_out


  );
reg  signed [63:0]                  floating_data_temp;
reg                                 valid_out_tmp;
// IP 核信號(hào)      
reg               data_in_tvalid;
wire              data_in_tready;
wire              result_dout_tvalid;


reg               result_dout_tready;
wire  [63:0]      result_dout_tdata;  
assign     floating_data      =      floating_data_temp;
assign      valid_out         =      valid_out_tmp ;
// data_in_tready 由IP核拉高---valid_in信號(hào)有效時(shí)--觸發(fā)data_in_tvalid-開始啟動(dòng)計(jì)算 
always@(posedge sclk or negedge rst_n)                 
begin
  if(~rst_n)  begin
     data_in_tvalid    <=   1'b0;
  end
  else if(data_in_tready  &&  valid_in )  begin     
     data_in_tvalid   <=    1'b1;            
  end    
  else
  begin
     data_in_tvalid    <=   1'b0;
  end
end
// result_dout_tvalid - 信號(hào)由IP核輸出--當(dāng)檢測(cè)到result_dout_tvalid 有效以后，用戶端的ready信號(hào)再拉高
always@(posedge sclk or negedge rst_n)
begin
  if(~rst_n)
  begin
    result_dout_tready   <=  1'b0;
  end
  else if(result_dout_tvalid)           
  begin
    result_dout_tready   <=  1'b1;         
  end
  else
  begin
    result_dout_tready   <=  1'b0;           
  end
end
 // result_dout_tready 信號(hào) 和 result_dout_tvalid 信號(hào)都有效，開始讀取數(shù)據(jù)。
always@(posedge sclk or negedge rst_n)
begin
  if(~rst_n)
  begin
    floating_data_temp    <=   64'd0;
    valid_out_tmp         <=   1'b0;    
  end
  else if(result_dout_tready && result_dout_tvalid)      
  begin
    floating_data_temp    <=    result_dout_tdata;
    valid_out_tmp         <=    1'b1;    
  end
  else
  begin
    floating_data_temp    <=    floating_data_temp;
    valid_out_tmp         <=     1'b0;        
  end
end


fixed_2_floating       floating_instance_name (
  .aclk(sclk),                                                // input aclk
  .s_axis_a_tvalid(data_in_tvalid),                           // input s_axis_a_tvalid
  .s_axis_a_tready( data_in_tready ),                         // output s_axis_a_tready
  .s_axis_a_tdata(data_in ),                                  // input [31 : 0] s_axis_a_tdata
  .m_axis_result_tvalid(result_dout_tvalid),                  // output m_axis_result_tvalid
  .m_axis_result_tready(result_dout_tready),                  // input m_axis_result_tready
  .m_axis_result_tdata(result_dout_tdata)                     // output [63 : 0] m_axis_result_tdata
);
endmodule

仿真結(jié)果展示：

驗(yàn)證結(jié)果：

>> a=double(1234567890)
a =
   1.2346e+09
 >> num2hex(a)
ans =
41d26580b4800000

在Matlab中,將定點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)化為浮點(diǎn)數(shù)的結(jié)果和ISE中調(diào)用IP核計(jì)算的結(jié)果一致。