高斯分布

我們定義一個(gè)將輸入x映射到輸出y的函數(shù),在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們使用隨機(jī)模型來定義這種關(guān)系的概率分布。例如，一個(gè)3.8 GPA的學(xué)生可以獲得平均$60K的薪水，方差（σ2）為$10K。

p(Salary=x|GPA=3.8)（一個(gè)均值為$60K，方差為$10k的高斯分布）

概率密度函數(shù)（Probability density function，PDF）

在下面的圖表中，p(X=x) 服從高斯分布：

在高斯分布中，68%的數(shù)據(jù)在距離μ 1σ之內(nèi)，95%的數(shù)據(jù)在距離μ 2σ之內(nèi)。我們可以根據(jù)概率分布來進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣。從分布中采樣數(shù)據(jù)的符號(hào)表示為：

在現(xiàn)實(shí)生活中，許多數(shù)據(jù)都遵循高斯分布。

例如，讓我們建立舊金山居民身高和體重之間的關(guān)系模型。我們從1000名成年居民中收集信息，并將數(shù)據(jù)繪制如下圖所示，每個(gè)紅點(diǎn)代表1個(gè)人：

對(duì)應(yīng)的三維概率密度函數(shù)（PDF）如下圖所示：

讓我們首先將模型推廣到多元高斯分布，即概率密度函數(shù)取決于多個(gè)變量。

一個(gè)多元向量：

多元高斯分布的概率密度函數(shù)定義如下：

其中，Σ表示協(xié)方差矩陣：

讓我們回到身高和體重的例子中，來說明這個(gè)公式的應(yīng)用。

從我們的訓(xùn)練數(shù)據(jù)中，我們計(jì)算得到=190，=70：

協(xié)方差矩陣Σ是用來做什么的？協(xié)方差矩陣中的每個(gè)元素都代表著兩個(gè)變量之間的關(guān)系。例如，表示身高（）與體重（）的相關(guān)性。如果體重隨身高的增加而增加，那么為正值。

讓我們?cè)敿?xì)介紹如何計(jì)算上述的。為了簡化，我們假設(shè)我們只有兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（150磅，66英寸）和（200磅，72英寸）。

在計(jì)算了所有1000個(gè)數(shù)據(jù)之后，協(xié)方差矩陣Σ的值如下所示：

協(xié)方差矩陣Σ中的正元素值表示兩個(gè)變量呈正相關(guān)關(guān)系。不出所料，是正值，因?yàn)轶w重隨身高的增加而增加。如果兩個(gè)變量彼此獨(dú)立，則值應(yīng)為0，如下所示：

計(jì)算的概率

計(jì)算在給定的條件下的概率：

其中，Φ是累積分布函數(shù)（cumulative distribution function，CDF）：

我們將協(xié)方差變量Σ重寫為以下形式：

代碼

我們從一個(gè)二元高斯分布中采樣數(shù)據(jù)。從協(xié)方差矩陣中，我們可以看出x和y呈正相關(guān)關(guān)系，因?yàn)?img src="http://file1.elecfans.com/web2/M00/88/E2/wKgaomR1uC6AZm5MAAAC5ncdwbc679.jpg" alt="圖片" />和是正的。

mean = [0, 2]
cov = [[1, 2], [3, 1]]


x, y = np.random.multivariate_normal(mean, cov, 5000).T
plt.plot(x, y, 'x')
plt.axis('equal')
plt.show()

下面繪制（y,x）的概率分布圖：

from scipy.stats import multivariate_normal


x, y = np.mgrid[-1:1:.01, -1:1:.01]  # x (200, 200) y (200, 200)
pos = np.empty(x.shape + (2,))
pos[:, :, 0] = x; pos[:, :, 1] = y   # pos (200, 200, 2)


mean = [-0.4, -0.3]
cov = [[2.1, 0.2], [0.4, 0.5]]
rv = multivariate_normal(mean, cov)
p = rv.pdf(pos)                      # (200, 200)
plt.contourf(x, y, p)
plt.show()

多元高斯分布定理

給定一個(gè)高斯分布：

后驗(yàn)條件概率的計(jì)算公式如下所示。這個(gè)公式在后面的高斯過程中非常重要。例如，如果我們有1000個(gè)畢業(yè)生的GPA和薪水樣本，我們可以使用這個(gè)定理通過1000個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)點(diǎn)創(chuàng)建一個(gè)高斯分布模型來預(yù)測(cè)給定GPA情況下的薪水P(salary|GPA)，

這里不詳細(xì)介紹公式的推理過程。但是假設(shè)x服從高斯分布。和之間的相關(guān)性由μ和Σ定義。因此，給定的值，我們可以計(jì)算出的概率分布：p(|)。

例如，我們知道舊金山居民的身高服從高斯分布。在下一節(jié)中，我們將應(yīng)用高斯過程來預(yù)測(cè)在給定身高的情況下體重的值。

高斯過程

高斯過程（Gaussian Process，GP）的直觀理解很簡單。如果兩個(gè)點(diǎn)具有相似的輸入，那么它們的輸出也應(yīng)該相似。對(duì)于有兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的情況，如果一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)比另一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)更接近已知的訓(xùn)練數(shù)據(jù)點(diǎn)，那么它的預(yù)測(cè)結(jié)果會(huì)更加可靠。

例如，如果一個(gè)GPA為3.5的學(xué)生一年掙$70K，那么另一個(gè)GPA為3.45的學(xué)生應(yīng)該會(huì)掙類似的薪水。在高斯過程中，我們使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)集來構(gòu)建高斯分布，以進(jìn)行預(yù)測(cè)。對(duì)于每個(gè)預(yù)測(cè)，我們輸出一個(gè)均值和一個(gè)σ。例如，使用高斯過程，我們可以預(yù)測(cè)一個(gè)GPA為3.3的學(xué)生可以掙到μ=$65K，σ=$5K，而一個(gè)GPA為2.5的學(xué)生可以掙到μ=$50K和σ=$15K。σ衡量了我們預(yù)測(cè)的不確定性。因?yàn)?.3 GPA更接近于我們的3.5 GPA訓(xùn)練數(shù)據(jù)，所以我們對(duì)于3.3 GPA學(xué)生的薪水預(yù)測(cè)比2.5 GPA學(xué)生更有信心。

在高斯過程中，我們不是計(jì)算Σ，而是計(jì)算K來衡量數(shù)據(jù)點(diǎn)和之間的相似性。

其中，核函數(shù)k是一個(gè)度量兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)相似性的函數(shù)（值為1表示相同）。有許多可能的核函數(shù)，我們將使用指數(shù)平方距離作為核函數(shù)。

注意：上面的表示數(shù)據(jù)點(diǎn)的體重。表示數(shù)據(jù)點(diǎn)1。

有了所有的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，我們可以創(chuàng)建一個(gè)高斯模型：

讓我們?cè)俅斡脙蓚€(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)點(diǎn)（150磅，66英寸）和（200磅，72英寸）來演示。這里我們正在為我們的訓(xùn)練數(shù)據(jù)構(gòu)建一個(gè)高斯模型。

其中175是體重的平均值，衡量了數(shù)據(jù)點(diǎn)和之間身高的相似性。上面的符號(hào)表示我們可以在體重上采樣一個(gè)向量f。

從由數(shù)據(jù)點(diǎn)（150，66）和（200，72）建模的中進(jìn)行采樣。

現(xiàn)在假設(shè)我們要預(yù)測(cè)輸入,時(shí)的,。模型變?yōu)椋?/p>

讓我們?cè)俅卫斫庖幌逻@是什么意思。例如，我們有一個(gè)包含4個(gè)人身高的向量：

我們可以使用來采樣這些人可能的體重：

我們知道前兩個(gè)值來自訓(xùn)練數(shù)據(jù)，我們嘗試計(jì)算出和的分布（它們的μ和σ是多少）。現(xiàn)在，我們不僅可以預(yù)測(cè)2個(gè)值，還可以對(duì)一系列輸入值進(jìn)行預(yù)測(cè)。

然后使用來采樣向量：

例如，我們從中采樣的第一個(gè)輸出樣本是：