01前言

大家好，前面發(fā)了幾篇關(guān)于PID的文章。

02自動控制系統(tǒng)

在直流有刷電機(jī)的基礎(chǔ)驅(qū)動中，如果電機(jī)負(fù)載不變，我們只要設(shè)置固定的占空比（電壓），電機(jī)的速度就會穩(wěn)定在目標(biāo)范圍。

然而，在實(shí)際的應(yīng)用中，負(fù)載可能會發(fā)生變化，此時如果還是輸出固定的電壓，電機(jī)的速度就偏離目標(biāo)范圍了，為了解決這個問題，我們需要引入自動控制系統(tǒng)中的閉環(huán)控制。接下來我們開始學(xué)習(xí)自動控制系統(tǒng)的內(nèi)容。

概念：用自動控制裝置，對關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行自動控制，使它在受到外界干擾而偏離正常狀態(tài)時，能夠被自動地調(diào)節(jié)回到目標(biāo)范圍內(nèi)。

應(yīng)用場景：電水壺保溫系統(tǒng)、大棚溫控系統(tǒng)、水位控制系統(tǒng)，等等。

分類：自動控制系統(tǒng)分為開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)。

① 開環(huán)控制系統(tǒng)

在開環(huán)控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)輸出只受輸入的控制，沒有反饋回路，控制精度和抑制干擾的特性都比較差。

電風(fēng)扇風(fēng)力控制系統(tǒng)就是一個開環(huán)控制的系統(tǒng)，我們設(shè)置好目標(biāo)風(fēng)力之后，控制電路就輸出相應(yīng)的電壓（假設(shè)是電壓控制），此時電機(jī)的扇葉轉(zhuǎn)速就被控制在目標(biāo)范圍了。

理想狀態(tài)下，風(fēng)扇的輸出風(fēng)力確實(shí)可以穩(wěn)定在目標(biāo)值附近，然而，在實(shí)際的使用中，電機(jī)會逐漸老化，扇葉上的灰塵也會讓負(fù)載增大，此時我們所設(shè)定目標(biāo)風(fēng)力和實(shí)際風(fēng)力可能就存在偏差了。

② 閉環(huán)控制系統(tǒng)

在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，引入了反饋回路，利用輸出（實(shí)際值）和輸入（目標(biāo)值）的偏差，對系統(tǒng)進(jìn)行控制，避免偏離預(yù)定目標(biāo)。

大棚溫控系統(tǒng)就是一個閉環(huán)控制的系統(tǒng)，我們設(shè)置好目標(biāo)溫度之后，溫度傳感器會采集棚內(nèi)的實(shí)際溫度，然后將目標(biāo)溫度和實(shí)際溫度進(jìn)行偏差的計算，計算后的結(jié)果輸入到控制電路中，控制電路進(jìn)一步控制溫控設(shè)備進(jìn)行升溫和降溫，此時棚內(nèi)的實(shí)際溫度就被控制在目標(biāo)范圍了。

當(dāng)實(shí)際溫度因外部影響偏離目標(biāo)值時，溫度傳感器（反饋電路）就能及時的反饋偏差，讓系統(tǒng)自動調(diào)節(jié)溫控設(shè)備，使得實(shí)際溫度逐漸回到目標(biāo)范圍。

03PID 算法 match ? ?

PID 算法是閉環(huán)控制系統(tǒng)中常用的算法，PID 分別是 Proportion（比例）、Integral（積分）、Differential（微分）的首字母縮寫。它是一種結(jié)合比例、積分和微分三個環(huán)節(jié)于一體的閉環(huán)控制算法。

我們將輸入目標(biāo)值和實(shí)際輸出值進(jìn)行偏差的計算，然后把計算結(jié)果輸入到 PID控制算法中，經(jīng)過比例、積分和微分三個環(huán)節(jié)的運(yùn)算，運(yùn)算后的輸出作用于執(zhí)行器，從而讓系統(tǒng)的實(shí)際值逐漸靠近目標(biāo)值。

以大棚溫控系統(tǒng)為例，來理解 PID 算法中三個環(huán)節(jié)的作用。

比例環(huán)節(jié)（ Proportion）

比例環(huán)節(jié)可以成比例地反應(yīng)控制系統(tǒng)的偏差信號，即輸出與輸入偏差成正比，可以用來減小系統(tǒng)的偏差。公式如下：

u —輸出

Kp—比例系數(shù)

e —偏差

我們可以通過大棚溫控去理解PID公式。例如需要調(diào)節(jié)棚內(nèi)溫度為 30℃，而實(shí)際溫度為 10℃，此時的偏差 e=20，由比例環(huán)節(jié)的公式可知

當(dāng) e 確定時，Kp 越大則輸出u 越大，也就是溫控系統(tǒng)的調(diào)節(jié)力度越大，這樣就可以更快地達(dá)到目標(biāo)溫度；而當(dāng) Kp 確定時，偏差 e 越大則輸出 u 越大。

由此可見，在比例環(huán)節(jié)中，比例系數(shù) Kp 和偏差 e 越大則系統(tǒng)消除偏差的時間越短

當(dāng) Kp 的值越大時，其對應(yīng)的橙色曲線達(dá)到目標(biāo)值的時間就越短，與此同時，橙色曲線出現(xiàn)了一定幅度的超調(diào)和振蕩，這會使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降。

所以我們在設(shè)置比例系數(shù)的時候，并不是越大越好，而是要兼顧消除偏差的時間以及整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

在實(shí)際的應(yīng)用中，如果僅有比例環(huán)節(jié)的控制，可能會給系統(tǒng)帶來一個問題：靜態(tài)誤差。

靜態(tài)誤差是指系統(tǒng)控制過程趨于穩(wěn)定時，目標(biāo)值與實(shí)測值之間的偏差。

如果我們在需要調(diào)節(jié)棚內(nèi)溫度為 30℃，而實(shí)際溫度為 25℃，此時偏差 e=5，Kp 為固定值，那么此時的輸出可以讓大棚在半個小時之內(nèi)升溫 5℃，而外部的溫差可以讓大棚在半個小時之內(nèi)降溫 5℃，也就是說，輸出 u 的作用剛好被外部影響抵消了，這就使得偏差會一直存在。

我們可以通過增大 Kp 來增大輸出，以此消除偏差。在實(shí)際應(yīng)用中，此方法的局限性很大，因?yàn)槲覀儾荒艽_定偏差的大小，它是在實(shí)時變化的，如果我們把 Kp 設(shè)置得太大，就會引入超調(diào)和振蕩，讓整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。因此，為了消除靜態(tài)誤差，我們引入了積分環(huán)節(jié)。

積分環(huán)節(jié)（Integral）

積分環(huán)節(jié)可以對偏差 e 進(jìn)行積分，只要存在偏差，積分環(huán)節(jié)就會不斷起作用，主要用于消除靜態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的無差度。

引入積分環(huán)節(jié)后，比例+積分環(huán)節(jié)的公式如下：

u —輸出

e —偏差

∑e—累計偏差

Kp—比例系數(shù)

Ki—積分系數(shù)

通過以大棚溫控分析可以知道，如果溫控系統(tǒng)的比例環(huán)節(jié)作用被抵消，存在靜態(tài)誤差 5℃，此時偏差存在，積分環(huán)節(jié)會一直累計偏差，以此增大輸出，從而消除靜態(tài)誤差。

從上述公式中可以得知，當(dāng)積分系數(shù) Ki 或者累計偏差越大時，輸出就越大，系統(tǒng)消除靜態(tài)誤差的時間就越短。

當(dāng)Ki的值越大時，其對應(yīng)的橙色曲線達(dá)到目標(biāo)值的時間就越短，與此同時，橙色曲線出現(xiàn)了一定幅度的超調(diào)和振蕩，這會使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降

因此，我們在設(shè)置積分系數(shù)的時候，并不是越大越好，而是要兼顧消除靜態(tài)誤差的時間以及整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

只要系統(tǒng)還存在偏差，積分環(huán)節(jié)就會不斷地累計偏差。當(dāng)系統(tǒng)偏差為 0的時候，說明已經(jīng)達(dá)到目標(biāo)值，此時的累計偏差不再變化，但是積分環(huán)節(jié)依舊在發(fā)揮作用（此時往往作用最大），這就很容易產(chǎn)生超調(diào)的現(xiàn)象了。

因此，我們需要引入微分環(huán)節(jié)，提前減弱輸出，抑制超調(diào)的發(fā)生。

微分環(huán)節(jié)（Differential）

微分環(huán)節(jié)可以反應(yīng)偏差量的變化趨勢，根據(jù)偏差的變化量提前作出相應(yīng)控制，減小超調(diào)，克服振蕩。引入微分環(huán)節(jié)后，比例+積分+微分環(huán)節(jié)的公式如下：

我們繼續(xù)使用大棚溫控去分析微分環(huán)節(jié)的作用。如果溫控系統(tǒng)目標(biāo)溫度為 30℃，在上午八點(diǎn)的時候存在偏差15℃，經(jīng)過一段時間的調(diào)節(jié)，到了上午九點(diǎn)，此時偏差已經(jīng)縮小到5℃，偏差的變化量= 九點(diǎn)的偏差（第 k 次）-八點(diǎn)的偏差（第 k-1 次）= -10，結(jié)合上述公式可知，此時微分環(huán)節(jié)會削弱比例和積分環(huán)節(jié)的作用，減小輸出以抑制超調(diào)。

最終得到了一個 PID算法公式：

這個公式是 PID 離散公式之一，除了離散公式之外，PID 還有連續(xù)的公式，但是因?yàn)檫B續(xù)的公式不利于機(jī)器計算，我們一般不研究。每一個系統(tǒng)的 PID 系數(shù)并不是通用的，這需要根據(jù)實(shí)際的情況去設(shè)置。

04PID 算法離散公式

位置式 PID 公式

這個公式的計算需要全部控制量參與，它的每一次輸出都和過去的狀態(tài)有關(guān)。

增量式 PID 公式

通過位置式的 PID 公式，可推導(dǎo)出增量式 PID 公式

將 k = k-1 代入位置式 PID 公式

由

增量式 PID 可以看出，增量式 PID 的計算并不需要一直累計偏差，它的輸出與近三次的偏差有很大關(guān)系。

注意：增量式 PID 公式輸出的只是控制量的增量。假設(shè)電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速為 50RPM，現(xiàn)在我們要讓它加速到 60RPM，如果采用的是位置式 PID，系統(tǒng)將直接輸出 60RPM 對應(yīng)的控制量（占空比）；

如果采用的是增量式 PID，系統(tǒng)將輸出提速 10RPM對應(yīng)的控制量（占空比），此時我們還需要加上上次（50RPM）的輸出。

兩個 PID 公式的不同點(diǎn)

兩種PID公式的優(yōu)缺點(diǎn)

① 位置式：

優(yōu)點(diǎn)：位置式 PID 是一種非遞推式算法，帶有積分作用，適用于不帶積分部件的對象。

缺點(diǎn)：全量計算，計算錯誤影響很大；需要對偏差進(jìn)行累加，運(yùn)算量大。

② 增量式：

優(yōu)點(diǎn)：只輸出增量，計算錯誤影響??；不需要累計偏差，運(yùn)算量少，實(shí)時性相對較好。

缺點(diǎn)：積分截斷效應(yīng)大，有穩(wěn)態(tài)誤差。

05積分飽和問題

在位置式 PID 中，如果系統(tǒng)長時間無法達(dá)到目標(biāo)值，累計偏差（積分）就會變得很大，此時系統(tǒng)的響應(yīng)就很慢了。

例如某個電機(jī)能達(dá)到的最大速度為 300RPM，而我們設(shè)置了目標(biāo)速度為 350RPM，這明顯是一個不合理的目

由于系統(tǒng)長時間無法達(dá)到目標(biāo)值，累計偏差（積分）會變得越來越大，逐漸達(dá)到深度飽和的狀態(tài)，此時我們再設(shè)置一個合理范圍的目標(biāo)速度（例如 200RPM），系統(tǒng)就沒有辦法在短時間內(nèi)響應(yīng)了。

為了避免位置式 PID 中可能出現(xiàn)的積分飽和問題，可以考慮下面解決方法：

①優(yōu)化 PID 曲線，系統(tǒng)越快達(dá)到目標(biāo)值，累計的偏差就越??；

②限制目標(biāo)值調(diào)節(jié)范圍，規(guī)避可以預(yù)見的偏差；

③進(jìn)行積分限幅，在調(diào)整好 PID 系數(shù)之后，根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)來選擇限幅范圍。

06PID算法代碼實(shí)現(xiàn)

控制量相關(guān)的結(jié)構(gòu)體

我們知道PID 的離散化公式后，實(shí)現(xiàn) PID 算法的代碼是非常簡單。

定義結(jié)構(gòu)體來管理這些控制量

typedef struct
{
 __IO float SetPoint; /* 目標(biāo)值 */
 __IO float ActualValue; /* 期望輸出值 */
 __IO float SumError; /* 偏差累計 */
 __IO float Proportion; /* 比例系數(shù) P */
 __IO float Integral; /* 積分系數(shù) I */
 __IO float Derivative; /* 微分系數(shù) D */
 __IO float Error; /* Error[1],第 k 次偏差 */
 __IO float LastError; /* Error[-1],第 k-1 次偏差 */
 __IO float PrevError; /* Error[-2],第 k-2 次偏差 */
} PID_TypeDef;

PID 算法代碼

位置式 PID 代碼

/*
* @brief pid 閉環(huán)控制
* @param *PID：PID 結(jié)構(gòu)體變量地址
* @param Feedback_value：當(dāng)前實(shí)際值
* @retval 期望輸出值
*/
int32_t own_pid_ctrl(PID_TypeDef *PID,float Feedback_value)
{
  PID->Error = (float)(PID->SetPoint - Feedback_value); /* 計算偏差 */
  PID->SumError += PID->Error; /* 累計偏差 */
  PID->ActualValue = (PID->Proportion * PID->Error) /* 比例環(huán)節(jié) */
  + (PID->Integral * PID->SumError) /* 積分環(huán)節(jié) */
  + (PID->Derivative * (PID->Error - PID->LastError)); /* 微分環(huán)節(jié) */
  PID->LastError = PID->Error; /* 存儲偏差，用于下次計算 */
  return ((int32_t)(PID->ActualValue)); /* 返回計算后輸出的數(shù)值 */
}

own_pid_ctrl 函數(shù)用來進(jìn)行位置式 PID 的控制，該函數(shù)的 2 個形參：PID 傳入 PID控制量相關(guān)的結(jié)構(gòu)體地址；Feedback_value 傳入當(dāng)前系統(tǒng)的實(shí)際值，用于計算偏差。

在函數(shù)中，我們先計算本次偏差 Error，然后把偏差累計，存入 SumError 成員當(dāng)中，接著根據(jù)位置式的公式進(jìn)行三個環(huán)節(jié)的計算，計算后的期望輸出存入 ActualValue 成員當(dāng)中，然后存儲本次偏差，最后返回期望輸出值。

增量式 PID 代碼

/*
* @brief pid 閉環(huán)控制
* @param *PID：PID 結(jié)構(gòu)體變量地址
* @param Feedback_value：當(dāng)前實(shí)際值
* @retval 期望輸出值
*/
int32_t own_pid_ctrl(PID_TypeDef *PID,float Feedback_value)
{
    PID->Error = (float)(PID->SetPoint - Feedback_value); /* 計算偏差 */
    PID->ActualValue += 
/* 比例環(huán)節(jié) */
    (PID->Proportion * (PID->Error - PID->LastError)) 
/* 積分環(huán)節(jié) */
    + (PID->Integral * PID->Error) 
/* 微分環(huán)節(jié) */
    + (PID->Derivative * (PID->Error - 2 * PID->LastError + PID->PrevError)); 
    PID->PrevError = PID->LastError; /* 存儲偏差，用于下次計算 */
    PID->LastError = PID->Error;
return ((int32_t)(PID->ActualValue)); /* 返回計算后輸出的數(shù)值 */
}

增量式 PID 的代碼實(shí)現(xiàn)和位置式是非常類似的，所以我們在實(shí)際的代碼實(shí)現(xiàn)中，可以通過一個宏定義來切換這兩種不同的算法，值得注意的是，增量式 PID 輸出的是調(diào)節(jié)量，所以計算期望輸出值 ActualValue 的時候是自增運(yùn)算，這一點(diǎn)和位置式 PID 是不一樣的。

審核編輯：湯梓紅