學(xué)習(xí)信號(hào)時(shí)域和頻域、快速傅立葉變換(FFT)、加窗，以及如何通過這些操作來加深對(duì)信號(hào)的認(rèn)識(shí)。

理解時(shí)域、頻域、FFT

傅立葉變換有助于理解常見的信號(hào)，以及如何辨別信號(hào)中的錯(cuò)誤。 盡管傅立葉變換是一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)函數(shù)，但是通過一個(gè)測(cè)量信號(hào)來理解傅立葉變換的概念并不復(fù)雜。 從根本上說，傅立葉變換將一個(gè)信號(hào)分解為不同幅值和頻率的正弦波。 我們繼續(xù)來分析這句話的意義所在。

所有信號(hào)都是若干正弦波的和

我們通常把一個(gè)實(shí)際信號(hào)看作是根據(jù)時(shí)間變化的電壓值。 這是從時(shí)域的角度來觀察信號(hào)。

傅立葉定律指出，任意波形在時(shí)域中都可以由若干個(gè)正弦波和余弦波的加權(quán)和來表示。 例如，有兩個(gè)正弦波，其中一個(gè)的頻率是另一個(gè)的3倍。 將兩個(gè)正弦波相加，就得到了一個(gè)不同的信號(hào)。

圖1 兩個(gè)信號(hào)相加，得到一個(gè)新的信號(hào)

假設(shè)第二號(hào)波形幅值也是第一個(gè)波形的1/3。 此時(shí)，只有波峰受影響。

圖2 信號(hào)相加時(shí)調(diào)整幅值影響波峰

假加上一個(gè)幅值和頻率只有原信號(hào)1/5的信號(hào)。 按這種方式一直加，直到觸碰到噪聲邊界，您可能會(huì)認(rèn)出結(jié)果波形。

圖3 方波是若干正弦波的和

您創(chuàng)建了一個(gè)方波。 通過這種方法，所有時(shí)域中的信號(hào)都可表示為一組正弦波。

即使可以通過這種方法構(gòu)造信號(hào)，那意味著什么呢? 因?yàn)榭梢酝ㄟ^正弦波構(gòu)造信號(hào)，同理也可以將信號(hào)分解為正弦波。

一旦信號(hào)被分解，可查看和分析原信號(hào)中不同頻率的信號(hào)。 請(qǐng)參考信號(hào)分解的下列使用實(shí)例：

分解廣播信號(hào)，可選擇要收聽的特定頻率(電臺(tái))。

將聲頻信號(hào)分解為不同頻率的信號(hào)(例如，低音、高音)，可增強(qiáng)特定頻段，移除噪聲。

根據(jù)速度和強(qiáng)度分解地震波形，可優(yōu)化樓宇設(shè)計(jì)，避免強(qiáng)烈震動(dòng)。

分解計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)時(shí)，可忽略頻率重要性最低的數(shù)據(jù)，這樣就能更緊湊地利用內(nèi)存。 這就是文件壓縮的原理。

使用FFT分解信號(hào)

傅立葉變換將一個(gè)時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)。 頻域信號(hào)顯示了不同頻率對(duì)應(yīng)的電壓。 頻域是另一種觀察信號(hào)的角度。

數(shù)字化儀對(duì)波形進(jìn)行采樣，然后將采樣轉(zhuǎn)換為離散的值。 因?yàn)榘l(fā)生了轉(zhuǎn)換，傅立葉轉(zhuǎn)換在這些數(shù)據(jù)上無法進(jìn)行。 可使用離散傅立葉變換(DFT)，其結(jié)果是離散形式的頻域信號(hào)。 FFT是DFT的一種優(yōu)化實(shí)現(xiàn)，計(jì)算量較少，但是本質(zhì)上是對(duì)信號(hào)的分解。

請(qǐng)查看上圖1中的信號(hào)。 有兩個(gè)頻率不同的信號(hào)。 在該情況下，頻域中就會(huì)顯示兩條表示不同頻率的豎線。

圖4 當(dāng)相同幅值的兩個(gè)正弦波相加，在頻域中就顯示為兩條頻率豎線

原信號(hào)的幅值在豎軸上表示。 圖2中有個(gè)不同幅值的信號(hào)。 頻域中最高的豎線對(duì)應(yīng)于最高電壓的正弦信號(hào)。 在頻域里觀察信號(hào)，可直觀地看出最高電壓發(fā)生在哪個(gè)頻率上。

圖5 最高的豎線是幅值最大的頻率

在頻域里也可觀察到信號(hào)的形狀。 例如，頻域中方波信號(hào)的形狀。 使用不同頻率的正弦波創(chuàng)建一個(gè)方波。 即可預(yù)見，在頻域中，這些信號(hào)都會(huì)被表示為一根豎線，每一根豎線都表示組成方波的正弦波。 如頻域中，豎線顯示為一個(gè)梯度，就可知道原信號(hào)是一個(gè)方波信號(hào)。

圖6 頻域中表示正弦波的豎線呈現(xiàn)為一個(gè)梯度

現(xiàn)實(shí)生活中，情況是怎樣的呢? 許多混合信號(hào)示波器(MSO)都有FFT功能。 下圖中，你可以觀察到混合信號(hào)圖中，方波FFT是如何顯示的。 放大后可觀察到頻域中的尖峰。

圖7 上圖為原正弦波和FFT，下圖是放大的FFT，可觀察到表示頻率的尖峰

在頻域中觀察信號(hào)有助于驗(yàn)證和發(fā)現(xiàn)信號(hào)中的問題。 例如，假設(shè)有一個(gè)輸出正弦波的電路。 可在示波器上查看時(shí)域輸出信號(hào)，如圖8所示。 看上去沒有任何問題!

圖8 如果將兩個(gè)很相似的波形相加，仍然會(huì)得到一個(gè)完美的正弦波

在頻域中查看信號(hào)時(shí)，如果輸出的正弦波頻率穩(wěn)定，應(yīng)該只在頻率中顯示為一條豎線。 但是，可以看到在更高的頻率上仍然有一條豎線，表示正弦波并不如觀察到的那么完美。 可嘗試優(yōu)化電路，去除特定頻率的噪聲。 在頻域中顯示信號(hào)有助于發(fā)現(xiàn)信號(hào)中的干擾、噪聲和抖動(dòng)。

圖9 查看圖8中看似完美的正弦波，可以看出波形中有一個(gè)抖動(dòng)

信號(hào)加窗

FFT提供了觀察信號(hào)的新視角，但是FFT也有各種限制，可通過加窗增加信號(hào)的清晰度。

什么是加窗?

使用FFT分析信號(hào)的頻率成分時(shí)，分析的是有限的數(shù)據(jù)集合。 FFT認(rèn)為波形是一組有限數(shù)據(jù)的集合，一個(gè)連續(xù)的波形是由若干段小波形組成的。 對(duì)于FFT而言，時(shí)域和頻域都是環(huán)形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。 時(shí)間上，波形的前后兩個(gè)端點(diǎn)是相連的。 如測(cè)量的信號(hào)是周期信號(hào)，采集時(shí)間內(nèi)剛好有整數(shù)個(gè)周期，那么FFT的上述假設(shè)合理。

圖10 測(cè)量整數(shù)個(gè)周期(上圖)可以得到理想的FFT(下圖)

在很多情況下，并不能測(cè)量到整數(shù)個(gè)周期。 因此，測(cè)量到的信號(hào)就會(huì)被從周期中間切斷，與時(shí)間連續(xù)的原信號(hào)顯示出不同的特征。 有限數(shù)據(jù)采樣會(huì)使測(cè)量信號(hào)產(chǎn)生劇烈的變化。 這種劇烈的變化稱為不連續(xù)性。

采集到的周期為非整數(shù)時(shí)，端點(diǎn)是不連續(xù)的。 這些不連續(xù)片段在FFT中顯示為高頻成分。 這些高頻成分不存在于原信號(hào)中。 這些頻率可能遠(yuǎn)高于奈奎斯特頻率，在0～采樣率的一半的頻率區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生混疊。 使用FFT獲得的頻率，不是原信號(hào)的實(shí)際頻率，而是一個(gè)改變過的頻率。 類似于某個(gè)頻率的能量泄漏至其他頻率。 這種現(xiàn)象叫做頻譜泄漏。 頻率泄漏使好的頻譜線擴(kuò)散到更寬的信號(hào)范圍中。

圖11 測(cè)量非整數(shù)個(gè)周期(上圖)將頻譜泄漏添加至FFT(下圖)

可通過加窗來盡可能減少在非整數(shù)個(gè)周期上進(jìn)行FFT產(chǎn)生的誤差。 數(shù)字化儀采集到的有限序列的邊界會(huì)呈現(xiàn)不連續(xù)性。 加窗可減少這些不連續(xù)部分的幅值。 加窗包括將時(shí)間記錄乘以有限長(zhǎng)度的窗，窗的幅值逐漸變小，在邊沿處為0。 加窗的結(jié)果是盡可能呈現(xiàn)出一個(gè)連續(xù)的波形，減少劇烈的變化。 這種方法也叫應(yīng)用一個(gè)加窗。

圖12 加窗可盡可能減少頻譜泄漏

加窗函數(shù)

根據(jù)信號(hào)的不同，可選擇不同類型的加窗函數(shù)。 要理解窗對(duì)信號(hào)頻率產(chǎn)生怎樣的影響，就要先理解窗的頻率特性。

窗的波形圖顯示了窗本身為一個(gè)連續(xù)的頻譜，有一個(gè)主瓣，若干旁瓣。 主瓣是時(shí)域信號(hào)頻率成分的中央，旁瓣接近于0。 旁瓣的高度顯示了加窗函數(shù)對(duì)于主瓣周圍頻率的影響。 對(duì)強(qiáng)正弦信號(hào)的旁瓣響應(yīng)可能會(huì)超過對(duì)較近的弱正弦信號(hào)主瓣響應(yīng)。

一般而言，低旁瓣會(huì)減少FFT的泄漏，但是增加主瓣的帶寬。 旁瓣的跌落速率是旁瓣峰值的漸進(jìn)衰減速率。 增加旁瓣的跌落速率，可減少頻譜泄漏。

選擇加窗函數(shù)并非易事。 每一種加窗函數(shù)都有其特征和適用范圍。 要選擇加窗函數(shù)，必須先估計(jì)信號(hào)的頻率成分。

如果您的信號(hào)具有強(qiáng)干擾頻率分量，與感興趣分量相距較遠(yuǎn)，那么就應(yīng)選擇具有高旁瓣下降率的平滑窗。

如果您的信號(hào)具有強(qiáng)干擾頻率分量，與感興趣分量相距較近，那么就應(yīng)選擇具有低最大旁瓣的窗。

如果感興趣頻率包含兩種或多種很距離很近的信號(hào)，這時(shí)頻譜分辨率就非常重要。 在這種情況下，最好選用具有窄主瓣的平滑窗。

如果一個(gè)頻率成分的幅值精度比信號(hào)成分在某個(gè)頻率區(qū)間內(nèi)精確位置更重要，選擇寬主瓣的窗。

如信號(hào)頻譜較平或頻率成分較寬，使用統(tǒng)一窗，或不使用窗。

總之，Hanning窗適用于95%的情況。 它不僅具有較好的頻率分辨率，還可減少頻譜泄露。 如果您不知道信號(hào)特征但是又想使用平滑窗，那么就選擇Hanning窗。

即使不使用任何窗，信號(hào)也會(huì)與高度一致的長(zhǎng)方形窗進(jìn)行卷積運(yùn)算。 本質(zhì)上相當(dāng)于對(duì)時(shí)域輸入信號(hào)進(jìn)行截屏，對(duì)離散信號(hào)也有效。 該卷積有一個(gè)正弦波函數(shù)特性的頻譜。 基于該原因，沒有窗叫做統(tǒng)一窗或長(zhǎng)方形窗。

Hamming窗和Hanning窗都有正弦波的外形。 兩個(gè)窗都會(huì)產(chǎn)生寬波峰低旁瓣的結(jié)果。 Hanning窗在窗口的兩端都為0，杜絕了所有不連續(xù)性。 Hamming窗的窗口兩端不為0，信號(hào)中仍然會(huì)呈現(xiàn)不連續(xù)性。 Hamming窗擅長(zhǎng)減少最近的旁瓣，但是不擅長(zhǎng)減少其他旁瓣。 Hamming窗和Hanning適用于對(duì)頻率精度要求較高對(duì)旁瓣要求較低的噪聲測(cè)量。

圖13 Hamming和Hanning都會(huì)產(chǎn)生寬波峰低旁瓣的結(jié)果

Blackman-Harris窗類似于Hamming和Hanning窗。 得到的頻譜有較寬的波峰，旁瓣有壓縮。 該窗主要有兩種類型。 4階Blackman-Harris是一種通用窗，在高90s dB處具有旁瓣抑制功能，有較寬的主瓣。 7階Blackman-Harris窗函數(shù)有寬廣的動(dòng)態(tài)范圍，有較寬的主瓣。

圖14 Blackman-Harris窗的結(jié)果是較寬的波峰，旁瓣有壓縮

Kaiser-Bessel窗在幅值精度、旁瓣距離和旁瓣高度之間取得了較好的平衡。 Kaiser-Bessel窗與Blackman-Harris窗類似，對(duì)于相同的主瓣寬度而言，較近的旁瓣更高，較遠(yuǎn)的旁瓣更低。 選擇該窗通常會(huì)將信號(hào)泄漏至離噪聲較近的位置。

Flat top窗也是一個(gè)正弦波，穿過0線。 Flat top窗的結(jié)果是在頻域中產(chǎn)生一個(gè)顯著寬廣的波峰，與其他窗相比離信號(hào)的實(shí)際幅值更近。

圖15 Flat top窗具有更精確的幅值信息

上面列舉了幾種常見的窗函數(shù)。 選擇窗函數(shù)并沒有一個(gè)通行的方法。 下表可幫助您做出初步選擇。 請(qǐng)始終比較窗函數(shù)的性能，從而找到最適合的一種窗函數(shù)。

總結(jié)

所有時(shí)域中的信號(hào)都可表示為一組正弦波。

FFT變換將一個(gè)時(shí)域信號(hào)分解為在頻域中表示，并分析信號(hào)中的不同頻率成分。

在頻域中顯示信號(hào)有助于發(fā)現(xiàn)信號(hào)中的干擾、噪聲和抖動(dòng)。

信號(hào)中如果包含非整數(shù)個(gè)周期，會(huì)發(fā)生頻率泄漏。 可通過加窗來改善該情況。

數(shù)字化儀采集到的有限序列的邊界會(huì)呈現(xiàn)不連續(xù)性。 加窗可減少這些不連續(xù)部分的幅值。

沒有窗叫做統(tǒng)一窗或長(zhǎng)方形窗，因?yàn)榧哟靶Ч匀淮嬖凇?/p>

一般情況下，Hanning窗適用于95%的情況。 它不僅具有較好的頻率分辨率，還可減少頻譜泄露。

請(qǐng)始終比較窗函數(shù)的性能，從而找到最適合的一種窗函數(shù)。

審核編輯：湯梓紅