所有的知識和研究都是為了增強人類對于自然、社會或者工業(yè)產(chǎn)品的認知。這些認知最后匯總為規(guī)律、定理、準則。

廣義而言，元模型是對所有非線性復雜規(guī)律的描述，雖然通常用于工業(yè)品設計，但是它也可以用于描述自然現(xiàn)象，比如大氣對流的降階模型。

今天我們繼續(xù)聊聊元模型和優(yōu)化。

多元模型優(yōu)化

優(yōu)化是同時使用多個元模型的常見情形。

例如Mack等人采用多項式響應面和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡對器件進行全局靈敏度分析和形狀優(yōu)化，以促進混合，同時最大限度地減少總壓力損失。由于設計空間中的有效區(qū)域是分散存在的，因此很難使用單個替代模型來捕獲這些局部但關鍵的特征。

Kammer 和 Alvin從單個元模型的線性加權組合創(chuàng)建“主”響應面，以創(chuàng)建在整個輸入?yún)?shù)空間上有效的超級元模型。

Glaz等人使用多項式響應面、克里金法、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡和加權平均元模型來減少直升機旋翼葉片振動。他們的結(jié)果表明，可以使用多個替代項來定位低振動設計，如果僅采用一種近似方法，則做不到這一點。

Samad等人的工作強調(diào)多元模型的優(yōu)勢。他們在NASA轉(zhuǎn)子37的壓縮機葉片形狀優(yōu)化中使用多項式響應面，克里金法，徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡和加權平均代理。研究發(fā)現(xiàn)，最準確的元模型并不總是導致最佳設計。這表明使用多元模型可以以最小的計算成本提高優(yōu)化的魯棒性。

事實證明，以這種簡單的方式同時使用多個代理項（即一組代理項，可能還有一個加權平均代理項）在設計優(yōu)化中非常有吸引力。我們用一個具有四個設計變量和一個響應的假設優(yōu)化問題來說明這種潛力。這通常需要大約30 到 40 個點進行代理建模。假設每個仿真運行一個小時，這意味著對設計空間進行采樣需要30 到 40 小時。讓我們比較兩種場景：一種是使用傳統(tǒng)的多項式響應面，另一種是使用其他三種更精細且更昂貴的代理項（例如克里金模型、神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量回歸模型）。擬合多項式響應曲面非常簡單，因為它只需要求解線性方程組（40個方程組和 15 個未知數(shù)）。同樣，多項式響應面的計算成本也很便宜。多項式響應面的整個學習需要不到 5 秒的時間。另一方面，擬合克里金法、神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量回歸模型需要求解優(yōu)化問題。四個元模型的擬合和PRESS計算需要1小時多一點。此時，可以使用差異的PRESS 值來排除潛在的不良模型。如果所有元模型都同樣好，我們甚至可以選擇添加第五個模型，以加權平均元模型的形式將四個模型結(jié)合起來。

應該記住，優(yōu)化元模型并不能保證元模型最佳或者接近真正的最佳。在實踐中，基于元模型的優(yōu)化按順序進行，使用高保真模型評估代理項預測的點，然后重新擬合代理項并再次執(zhí)行優(yōu)化，直到實現(xiàn)收斂。這就解釋了為什么順序采樣框架最近成為大量研究的目標。

前面的框架僅使用元模型模型的預測功能。當計算預算只允許很少的優(yōu)化周期（可能只有一個或兩個）時，這可能很有用。盡管如此，我們想指出的是，順序采樣策略（例如有效全局優(yōu)化和增強順序優(yōu)化算法的變體）最近得到了大量研究。

具體來說，Rai和Campbell引入了定性和定量的順序抽樣技術。該方法通過稱為“置信函數(shù)”的標準將來自多個來源（包括計算機模型和設計師的定性直覺）的信息結(jié)合起來。使用各種示例演示了該方法的功能，包括雙穩(wěn)態(tài)微機電系統(tǒng)的設計。

Gorissen等人將多元模型帶入適應性采樣。目標是能夠通過迭代添加點來選擇最佳元模型。他們定制了一種遺傳算法，該算法結(jié)合了自動模型類型選擇、自動模型參數(shù)優(yōu)化和順序設計探索。

商業(yè)軟件中的元建模能力

目前，存在許多實現(xiàn)各種元建模技術的商業(yè)軟件包，但對于商業(yè)軟件系統(tǒng)元建模并不是最終目標。在許多情況下，元建模是優(yōu)化和設計探索功能的伴侶，因為以自動方式確定給定條件的最佳系統(tǒng)仍然是主要任務。商業(yè)軟件的發(fā)展來自兩個主要來源：學術研究和工業(yè)需求。學術研究為探索科學發(fā)展的各個方向提供了極大的靈活性和能力，而工業(yè)需求是由需要在短時間內(nèi)解決的問題決定的。由于軟件公司的融資主要取決于行業(yè)，因此它們的目標是首先滿足當前的行業(yè)需求，同時試圖預測任何未來的需求。這種預測未來需求的必要性使他們進行自己的研究，也要求他們跟隨學術研究的趨勢。在針對未來需求的高效研究和即時的日常重要行業(yè)需求之間保持平衡并非易事，尤其是考慮到銷售軟件的需求。這種平衡的一個重要部分是方法和算法的高效和穩(wěn)健的實現(xiàn)。

計算機技術和圖形用戶界面（GUI）開發(fā)的進步以及競爭導致商業(yè)軟件系統(tǒng)在與第三方分析/模擬代碼以及預/后處理甚至底層算法的集成方面提供類似的功能。各種軟件產(chǎn)品的GUI變得相似，盡管由于缺乏既定的術語，類似的算法被稱為不同的名稱。因此，用戶的學習曲線可能會因軟件環(huán)境而異。選擇商業(yè)軟件可以基于這些特點進行評估：易用性、特定類型優(yōu)化問題的典型計算成本、可視化功能、元建模和優(yōu)化算法等，以確保軟件提供所需的內(nèi)容。

DAKOTA是開源軟件。由于更多地受到研究和出版物的驅(qū)動，它往往比商業(yè)軟件更處于算法的前沿。DAKOTA擁有比商業(yè)軟件更多種類的優(yōu)化和元建模方法。然而，由于缺乏苛刻的付費客戶，用戶友好性不如商業(yè)軟件。具體來說，沒有經(jīng)驗的用戶可能會被各種算法和每種算法中的選項所淹沒。使用C++作為核心語言可提供組件的即插即用功能和自然路徑以實現(xiàn)可擴展性。

MATLAB的主要關注點不是元建?；騼?yōu)化。相反，它是一種數(shù)值計算環(huán)境和編程語言。它是一個靈活而廣泛的工具，幾乎所有專門的元建模/優(yōu)化軟件都有直接接口。此外，MATLAB 本身有一個優(yōu)化/元建模工具箱，其中包含各種可用的算法和選項。由于MATLAB 提供了很好的編程、預處理和后處理功能，以及來自各個領域的鏈接、方法和工具，因此它本身就是一個有吸引力的優(yōu)化和元建模系統(tǒng)。

開源工具UQlab是一種基于MATLAB的不確定分析和優(yōu)化設計工具。它的重點是不確定性分析，但是它同樣擁有強大的高斯過程和PC-克里金建模方法，并且在靈敏度分析、可靠性分析、支持向量機、高級概率建模、低秩張量近似與貝葉斯校準方面具有非常優(yōu)秀的算法。

鮮為人知的是Excel具有適合解決非線性問題的優(yōu)化工具。盡管在可解決的問題規(guī)模方面落后于專門的優(yōu)化軟件，但Excel Solver 提供了漂亮且易于使用的優(yōu)化功能。除此之外，大多數(shù)商業(yè)優(yōu)化/元建模軟件包都有專門的Excel界面。

HyperStudy的主要優(yōu)勢之一是與 HyperMesh緊密相連。與HyperMesh 的集成可實現(xiàn) FEA/MBD/CFD求解器輸入數(shù)據(jù)的直接參數(shù)化，以及繪圖和動畫輸出的一步提取，從而使求解器與HyperStudy 的集成更加高效。

iSight是使用最廣泛的商業(yè)優(yōu)化包之一。它支持直接集成到大量第三方分析/模擬工具和CAD程序。iSight提供的獨特工具之一是使用參數(shù)的物理尺寸來創(chuàng)建較少數(shù)量的非尺寸參數(shù)，以便更輕松地半自動減少設計變量，并確定系統(tǒng)設計中的基本趨勢。

LS-OPT與LS-Dyna非線性有限元代碼一起開發(fā)(現(xiàn)在歸屬于ANSYS軟件)，并提供優(yōu)化和元建模功能，可直接在與該有限元代碼的緊密耦合范圍內(nèi)以及獨立運行。與LS-Dyna的緊密耦合提供了獨特的功能，可以有效地執(zhí)行各種類型的優(yōu)化以及使用非線性FE代碼進行權衡研究。具體來說，對某些結(jié)構(gòu)問題的不穩(wěn)定性/噪聲/異常值調(diào)查和變量篩選使LS-OPT與其他工具區(qū)分開來。

Optislang與DesignXplorer是ANSYS公司的產(chǎn)品。前者逐漸替代后者成為ANSYS軟件集成系統(tǒng)的元建模和優(yōu)化設計工具。與前述的商業(yè)軟件相比，除了擁有敏感性分析、響應面、高斯過程這些基礎方法以外，Optislang的MOP（最佳預后元模型）是典型的多元模型設計理論的一個具體實現(xiàn)；深度高斯過程在復雜隨機數(shù)據(jù)元建模方面有獨特優(yōu)勢；穩(wěn)健性設計之外的可靠性設計方法也更加有效。

元模型驅(qū)動的設計空間探索與可視化

元建模不僅降低了優(yōu)化的計算成本，而且還為快速設計空間探索提供了一種手段，通常更重要的是可視化。由于元模型的評估速度很快，幾乎是即時的，因此當設計（輸入）變量在圖形設計環(huán)境中發(fā)生更改時，它們能夠?qū)崟r計算性能分析。在圖形設計界面中具有快速響應的重要性已被許多研究證實，有效設計空間探索的快速分析能力至關重要。

在MDO社區(qū)內(nèi)，該領域的研究主要在兩個方面進行：改進使用元模型進行設計空間探索的軟件和可視化工具，以及評估采用元模型的可視化策略。前者的例子包括圖形變形，云可視化，馬賽克可視化和高級系統(tǒng)設計套件。它們使用各種類型的元模型允許用戶通過實時交互來引導和可視化模擬。最近的發(fā)展旨在改進可視化結(jié)果的方法比如N維帕累托邊界。與此同時，佐治亞理工學院的航空航天研究人員已經(jīng)廣泛使用JMP中的元建模和可視化功能進行多維參數(shù)權衡與設計空間探索。

至于第二項研究，由于許多工程設計團隊經(jīng)常使用可視化設計環(huán)境，因此對基于元模型的可視化的好處的評估變得越來越普遍。例如，Ligetti和Simpson研究了使用一階，逐步和二階多項式回歸模型在詳細的制造模擬中近似系統(tǒng)響應，發(fā)現(xiàn)與一階和二階多項式回歸模型相比，使用逐步回歸模型顯著減少了任務完成時間并減少了誤差。這些發(fā)現(xiàn)，結(jié)合上述響應延遲的重要性，對元模型驅(qū)動的可視化設計環(huán)境的使用和開發(fā)具有重要意義；潛在的好處是巨大的，但我們必須非常注意人機交互，以避免同樣可能發(fā)生的陷阱。

未來的研究方向

首先，維度難題仍然存在。有許多因素使高維問題本身變得困難。在這里，我們認為全局敏感性分析將在緩解維度難題方面發(fā)揮重要作用，許多人正在研究減少與高維問題相關的計算費用的方法。統(tǒng)計上合理，健壯和可擴展（即能夠處理大量輸入和輸出）的方法非常重要。其次，計算復雜性仍然存在。問題變得更加復雜和/或我們正在嘗試做更多的事情（例如，不確定性下的優(yōu)化，基于可靠性的設計優(yōu)化和魯棒設計）。同時數(shù)值噪聲問題仍然存在，由于許多分析的計算復雜性增加，數(shù)值噪聲似乎越來越嚴重，并且在執(zhí)行模型驗證（檢查模型是否再現(xiàn)了感興趣的過程的已知行為）時也帶來了額外的挑戰(zhàn)。處理混合離散/連續(xù)變量的挑戰(zhàn)也仍然存在，并且由于目前正在研究的問題的性質(zhì)，情況可能會變得更糟。最后，對于基于元模型的優(yōu)化的需求繼續(xù)受到相當大的關注，而且元模型和底層模型的驗證與以前一樣重要。

結(jié)論

元建模和優(yōu)化要成為工業(yè)界的日常和常用工具還有很長的路要走。盡管大計算成本是研究背后的主要或唯一動機，但仔細觀察就會發(fā)現(xiàn)，對更新和更實用工業(yè)設計能力的持續(xù)需求才是真正推動元建模發(fā)展的原因。

審核編輯 ：李倩