什么是振動(dòng)？簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是某個(gè)物理量的值隨時(shí)間周期變化的現(xiàn)象。

振動(dòng)的物理量隨時(shí)間周期變化的曲線叫振動(dòng)曲線，例如（仔細(xì)看，周期是存在的哦）

最常見(jiàn)的振動(dòng)是機(jī)械振動(dòng)，隨時(shí)間周期變化的那個(gè)物理量是位置。質(zhì)點(diǎn)的位置是一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，對(duì)于一般的運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，它就是一個(gè)矢量函數(shù)，即

它也被稱作運(yùn)動(dòng)方程。對(duì)于機(jī)械振動(dòng)來(lái)說(shuō)，由于位置是周期性變化的，運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)該是一個(gè)時(shí)間的周期函數(shù)。

機(jī)械振動(dòng)非常直觀，但它并非振動(dòng)的全部，廣義的振動(dòng)可以是任何物理量隨時(shí)間的周期變化。

例如，一天中，早上溫度最低，隨著太陽(yáng)升起，溫度逐漸上升，到下午2點(diǎn)左右，溫度達(dá)到最高，然后開(kāi)始降低，直到第二天早上達(dá)到最低，如此反復(fù)。

更簡(jiǎn)單的例子，擺動(dòng)的吊燈，相對(duì)于豎直線的偏離角度，隨時(shí)間來(lái)回往復(fù)的變化。類(lèi)似的，一個(gè)持續(xù)擺動(dòng)的牛頓擺也是如此。

01

幾個(gè)振動(dòng)的例子

下面來(lái)仔細(xì)看幾個(gè)振動(dòng)的例子。

一個(gè)球豎直上拋后落下，與地面彈性碰撞后彈起，再落下又彈起，這個(gè)過(guò)程就是一個(gè)典型的振動(dòng)過(guò)程。以上拋點(diǎn)為原點(diǎn)，向上為軸，則其振動(dòng)曲線如下，它由一段段完全相同的拋物線拼接而成。

溫馨提示：由于實(shí)際的機(jī)械振動(dòng)曲線中，不可能出現(xiàn)速度不存在的點(diǎn)——例如圖中那些導(dǎo)數(shù)不存在的地方。所以，這里列舉的幾個(gè)振動(dòng)只是理論上的振動(dòng)曲線，作為機(jī)械振動(dòng)是不可能真實(shí)存在的。

設(shè)上圖中每一段拋物線的寬度為，高為。你能寫(xiě)出描述該振動(dòng)的函數(shù)嗎？看起來(lái)很難，因?yàn)樗皇且粋€(gè)普通的周期函數(shù)，不信你可以試試。

太復(fù)雜？那就來(lái)個(gè)更簡(jiǎn)單點(diǎn)的吧，看下面的振動(dòng)曲線，某個(gè)物理量隨時(shí)間變化如下

曲線中的三角形都是全等正三角形，邊長(zhǎng)為。是不是仍然無(wú)法寫(xiě)出它的函數(shù)？

的確，除非你借助那些特殊的函數(shù)，例如對(duì)內(nèi)的部分，可表示為

溫馨提示：這里面的和圍起來(lái)是floor函數(shù)的符號(hào)，它是用來(lái)取整的。

否則，你還真沒(méi)辦法寫(xiě)出它的表達(dá)式。

再看一種更簡(jiǎn)單的振動(dòng)曲線，某物理量隨時(shí)間變化如下

設(shè)曲線的每一段長(zhǎng)度都為。你能寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)嗎？

再次抱歉，你同樣寫(xiě)不出來(lái)！除非你借助符號(hào)函數(shù)將其寫(xiě)成

溫馨提示：的定義為：稱作符號(hào)函數(shù)。

看到了吧，那些看起來(lái)很直觀的振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程卻都如此復(fù)雜！

看來(lái)，從數(shù)學(xué)上講，這幾個(gè)振動(dòng)都不太好對(duì)付啊。

那么，有沒(méi)有簡(jiǎn)單一點(diǎn)的振動(dòng)呢？

02

勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧振動(dòng)

仔細(xì)想一下，什么樣的振動(dòng)可能是最簡(jiǎn)單的振動(dòng)呢？

別忘了，振動(dòng)的一般定義是物理量隨時(shí)間周期變化的運(yùn)動(dòng)，不要總想著沿一個(gè)維度左右、上下來(lái)回的運(yùn)動(dòng)，思路放開(kāi)一點(diǎn)嘛！

繞著一個(gè)閉合路徑做周期運(yùn)動(dòng)算不算振動(dòng)？當(dāng)然算！

矮油！這么一提示，頓時(shí)就想到了，它不就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)嘛！

沒(méi)錯(cuò)，我相信大多數(shù)人認(rèn)為非它莫屬！是啊，還有什么周期運(yùn)動(dòng)有勻速圓周運(yùn)動(dòng)這般簡(jiǎn)單和諧？！

設(shè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為，則每隔的時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)重回原位。運(yùn)動(dòng)具有周期性，所以圓周運(yùn)動(dòng)的確是振動(dòng)！一種極為特殊的振動(dòng)！

既然勻速圓周運(yùn)動(dòng)如此簡(jiǎn)單，那么它的運(yùn)動(dòng)方程是什么呢？

設(shè)其圓周的半徑為，角速度為，設(shè)零時(shí)刻，它相對(duì)軸的正向已轉(zhuǎn)過(guò)了角，則運(yùn)動(dòng)方程為：

搞半天，就只有勻速圓周運(yùn)動(dòng)能用一個(gè)比較簡(jiǎn)單的周期函數(shù)表示。

那么，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)方程意味著什么呢？

看看它所包含的東東——正弦和余弦函數(shù)！

物理上定義，位置隨時(shí)間按照正弦或余弦函數(shù)變化的振動(dòng)叫做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其運(yùn)動(dòng)方程可表示為或例如彈簧振子的振動(dòng)和單擺的小角度擺動(dòng)都呈現(xiàn)這種形式。

沒(méi)錯(cuò)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)本身就是由兩個(gè)垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得到的，正因?yàn)樗膬蓚€(gè)分振動(dòng)分別由正弦和余弦函數(shù)描述，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)也是周期運(yùn)動(dòng)！

現(xiàn)在你知道了，勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是最簡(jiǎn)單的振動(dòng)！因?yàn)樗瑑蓚€(gè)更基本的振動(dòng)。

如下圖所示，可以看到，勻速圓周運(yùn)動(dòng)沿著圓的任一條直徑上的分運(yùn)動(dòng)就是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

受此啟發(fā)，設(shè)一個(gè)長(zhǎng)度固定的矢量繞起點(diǎn)以角速度沿逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，它的箭頭在某條直徑上的投影的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。換句話說(shuō)，任何一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的背后總對(duì)應(yīng)著一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量，如下圖

但實(shí)際上，簡(jiǎn)諧振動(dòng)才是構(gòu)成勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本元素，而不是相反。只不過(guò)對(duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)更易于理解，所以借助“旋轉(zhuǎn)矢量”，簡(jiǎn)諧振動(dòng)看起來(lái)更直觀。

03

正弦和余弦：最基本的周期函數(shù)

如此看來(lái)，只要用數(shù)學(xué)中的周期函數(shù)，或周期函數(shù)的組合，來(lái)構(gòu)建運(yùn)動(dòng)方程，那么不就可以得到各種各樣的振動(dòng)嗎？

那么，除了正弦和余弦，還有哪些周期函數(shù)呢？

周期函數(shù)，這么重要的一類(lèi)函數(shù)，應(yīng)該很多吧？

趕緊翻數(shù)學(xué)手冊(cè)！

然而，結(jié)果有點(diǎn)令人意外！

除了正弦和余弦函數(shù)之外，要不就是一些由它倆構(gòu)造的周期函數(shù)，比如tan、ctan和sec等等；要不就是一些不光滑的周期函數(shù)——就像我前面列舉的三角和方形函數(shù)，它們根本無(wú)法代表真實(shí)的運(yùn)動(dòng)。

換句話說(shuō)，正弦和余弦函數(shù)就是唯二的倆周期函數(shù)！

難怪啊難怪，難怪一般的周期運(yùn)動(dòng)都如此復(fù)雜，因?yàn)楦静淮嬖诤?jiǎn)單的周期函數(shù)能夠描述它們；難怪勻速圓周運(yùn)動(dòng)如此簡(jiǎn)單！原來(lái)是因?yàn)樗膬蓚€(gè)振動(dòng)成分是如此純粹！

呃，這個(gè)發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)直太厲害了！

到此，你可能隱隱的感覺(jué)到：或許一切周期函數(shù)之所以能成為周期函數(shù)，本質(zhì)上都?xì)w結(jié)于正弦和余弦函數(shù)？

事實(shí)的確如此！周期函數(shù)之所以是周期函數(shù)，一切皆因正弦和余弦函數(shù)這對(duì)孿生兄弟！誰(shuí)叫他倆是僅有的兩個(gè)“原創(chuàng)型”的光滑周期函數(shù)呢？

數(shù)學(xué)上可以證明，一個(gè)周期函數(shù)總可以通過(guò)若干個(gè)正弦和余弦函數(shù)組合來(lái)得到，即這就是傅里葉級(jí)數(shù)，其中系數(shù)(含)和為

舉個(gè)例子，下面這個(gè)函數(shù)的圖像看起來(lái)很復(fù)雜吧？

但實(shí)際上，此函數(shù)由三個(gè)余弦函數(shù)加起來(lái)得到，具體表達(dá)式是：你可用Matlab或者隨便一個(gè)在線繪圖工具來(lái)驗(yàn)證一下。

講到這里意識(shí)到，之所以任意周期函數(shù)都能用正弦和余弦函數(shù)的組合來(lái)表示，這不是因?yàn)樗鐐z多厲害，純粹是因?yàn)槲镆韵橘F——只有他倆是最簡(jiǎn)單的周期函數(shù)。

換句話說(shuō)，只有他倆才擁有周期的創(chuàng)始基因，但凡其他周期函數(shù)者，皆因他倆而起也，皆繼承于他倆，由他倆組合而得。

04

簡(jiǎn)諧振動(dòng)：最簡(jiǎn)單的振動(dòng)

既然一般的周期函數(shù)可看作由正弦和余弦函數(shù)組合而成，那么相應(yīng)的，任何一個(gè)一般的振動(dòng)總可以看作是若干個(gè)正弦和余弦函數(shù)所表示的振動(dòng)的合成。

不錯(cuò)，正弦和余弦函數(shù)是周期函數(shù)的基本元素，它們所描述的振動(dòng)是最基本、最簡(jiǎn)單的振動(dòng)！

例如，除勻速圓周運(yùn)動(dòng)之外，周期的橢圓運(yùn)動(dòng)也是由相互垂直的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得到。

而任意周期運(yùn)動(dòng)，總可由若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得到。例如，下面這種振動(dòng)（藍(lán)色線）可看作是由多個(gè)頻率不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的，所采用的簡(jiǎn)諧振動(dòng)越多，合成的振動(dòng)越接近藍(lán)色線代表的振動(dòng)。

所以，正弦或余弦函數(shù)所描述的振動(dòng)可看作是振動(dòng)的基本成分。之所以被稱作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，“簡(jiǎn)”字正是強(qiáng)調(diào)它是自然界中最簡(jiǎn)單的振動(dòng)。而“諧”字的意思是，振動(dòng)一直持續(xù)下去，強(qiáng)調(diào)其能量不會(huì)耗散。

更廣泛的，非周期的函數(shù)可以看作是周期無(wú)限大的函數(shù)，它們也可以看作是正弦和余弦通過(guò)加權(quán)函數(shù)的組合，這就是傅里葉變換，它是傅里葉級(jí)數(shù)的推廣。據(jù)此，即使非周期運(yùn)動(dòng)，形式上也可看作是由簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的。

因此，正弦和余弦函數(shù)也可看作構(gòu)成一切函數(shù)的基本元素，由他們描述的振動(dòng)——簡(jiǎn)諧振動(dòng)，是構(gòu)成一切運(yùn)動(dòng)的基本單元。

審核編輯 ：李倩