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如何正確理解系統(tǒng)的零輸入響應

模擬札記 ? 來源:模擬札記 ? 作者:模擬札記 ? 2021-05-19 16:08 ? 次閱讀
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系統(tǒng)的零輸入響應是當系統(tǒng)沒有外加激勵信號作為輸入時的響應。系統(tǒng)的輸入信號去除以后,輸出的響應信號一般不會突然消失。這是因為在輸入信號去除之前,系統(tǒng)中的儲能元件中一般總蓄有電磁,而這些能量不可能突然消失,它將逐漸釋放出來,直至最后消耗殆盡。零輸入響應正是由這種初始的能量分布狀態(tài),即初始條件所決定的。

為求系統(tǒng)的零輸入響應,就要解下面式子所示的齊次方程。

ffb3e8cc-b49f-11eb-bf61-12bb97331649.png

現(xiàn)在,先來討論求解一階和二階齊次微分方程的簡單情況。

一、一階齊次微分方程

ffc016a6-b49f-11eb-bf61-12bb97331649.png

常數(shù)c可以根據初始條件t=0,r(t)=r(0)來確定c=r(0),于是得

ffe57b9e-b49f-11eb-bf61-12bb97331649.png

二、二階齊次微分方程

再來看下二階的齊次微分方程

fff61440-b49f-11eb-bf61-12bb97331649.png

可見,對于算子形式的微分方程,也可以像代數(shù)方程那樣處理。

001d094c-b4a0-11eb-bf61-12bb97331649.png

既然這兩個解中任一個都能滿足式

002b8008-b4a0-11eb-bf61-12bb97331649.png

那么它們的和當然亦然能滿足。所以二階齊次方程解的一般形式應為:

003a6366-b4a0-11eb-bf61-12bb97331649.png

0054e560-b4a0-11eb-bf61-12bb97331649.png

三、n階齊次微分方程

上述方法可以推廣到求一般形式的齊次方程,為此先要把此式寫成因式相乘的形式,即

007059c6-b4a0-11eb-bf61-12bb97331649.png

與二階齊次方程的解相似,上面一般形式的齊次方程的解的一般形式應為:

0093debe-b4a0-11eb-bf61-12bb97331649.png

這也就是用n階線性微分方程描寫的系統(tǒng)的零輸入響應的一般形式,它和拉普拉斯變換求解零輸入響應導出的公式是完全相同的;

式中各λ就是復頻域中轉移函數(shù)的極點,它們決定了響應中的自然頻率。

式中c1、c2、。。.、cn是n個初始條件確定的常數(shù),顯然為了確定這些常數(shù),需要n個初始條件。

現(xiàn)在設初始條件t=0時,r(t)及其直到n-1階的各階導數(shù)的值r(0)、r‘(0)、r’‘(0)。。.,把這些初始值代入下式及其直到n-1階的各階導數(shù)式,得到下列聯(lián)立方程組:

00b3549c-b4a0-11eb-bf61-12bb97331649.png

00ca138a-b4a0-11eb-bf61-12bb97331649.png

此聯(lián)立式可以記為矩陣形式:

00e362ae-b4a0-11eb-bf61-12bb97331649.png

00ef79e0-b4a0-11eb-bf61-12bb97331649.png

上面所示方程D(p)=0的根曾經假定全部是單根。如果有重根,那么方程的解也就不同于上面所示的簡單形式。

00fbf4fe-b4a0-11eb-bf61-12bb97331649.png

這個解加上對應于方程D(p)=0的其他根的解,即為零輸入響應函數(shù)的完全解。

編輯:jq

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原文標題:如何理解系統(tǒng)的零輸入響應

文章出處:【微信號:monizj,微信公眾號:模擬札記】歡迎添加關注!文章轉載請注明出處。

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