你在繪制某個信號處理系統(tǒng)的頻率響應(yīng)時，是否遇到過意外滾降的情況——原本預(yù)計它是平坦的（或至少跟所設(shè)計的曲線差不多），但結(jié)果卻平穩(wěn)而慢吞吞地滾離了目標(biāo)值，而讓你大失所望？如果你遇到過這種情況，那你就受到了sinc（）頻率響應(yīng)的影響。下面來看看具體情況。

這個滾降問題可能會在采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的輸入和輸出中出現(xiàn)。先來看一下輸出。如果你想要將一串樣本值轉(zhuǎn)換回模擬信號，那么可以將這些數(shù)字樣本送到DAC?，F(xiàn)在，大多數(shù)DAC IC和模塊都具有“保持”輸出。也就是說，當(dāng)它們接收到一個新的數(shù)字樣本時，輸出電壓會迅速變?yōu)橄鄳?yīng)的新值并保持在那里，直到出現(xiàn)下一個樣本。這種現(xiàn)象非常普遍，以至于許多工程師會認(rèn)為這是正?，F(xiàn)象，并認(rèn)為此類DAC的輸出電壓以某種方式正確地代表了樣本流（除了有一些令人討厭的高頻噪聲外）。

事實并非如此。這種“保持”過程會使這種系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與僅在每個采樣時刻非常短暫地確定輸出電壓的系統(tǒng)不同。這種尖峰輸出電壓在實際應(yīng)用中很不方便，這就是為什么我們很少遇到它。

將每個樣本的電壓擴展至“填充可用的空間”，是零階保持器的一個示例。這種系統(tǒng)的輸出頻譜等于理想的尖峰輸出系統(tǒng)的頻譜乘以兩個采樣點之間矩形脈沖的頻譜，也即其寬度與采樣間隔相等。這樣的矩形時間響應(yīng)與具有sinc（）特性的頻率響應(yīng)對應(yīng)。sinc（x）是sin（x）/x的縮寫，而一個域中的矩形與另一個域中的sinc（）之間存在傅立葉鏡像對應(yīng)，這不僅在信號理論而且在整個物理學(xué)都非常常見。

計算sinc函數(shù)的值——參數(shù)x的值是π乘以信號頻率（f）與采樣頻率（fs）之比，即sinc（πf/fs）——可知在大約fs的0.444倍處，滾降已經(jīng)達(dá)到-3dB。圖1給出了在每秒1個樣本（sps）的采樣速率下sinc（）滾降的頻率效應(yīng)。請注意，它在采樣率倍數(shù)的頻率處具有深而窄的陷波。

圖1：每秒1個樣本的零階保持器的sinc（）響應(yīng)，從中可以看到在采樣頻率倍數(shù)處具有深陷波。

現(xiàn)在來看時域當(dāng)中的情況。圖2顯示了一個0.444Hz正弦波以及每秒對其采樣一次的結(jié)果。樣本所達(dá)到的峰值顯然是輸入電壓的峰值。但是，隨著采樣時鐘在信號上“走動”，某些區(qū)域的低輸出電壓會持續(xù)一段相當(dāng)長的時間。

圖2：以每秒1個樣本的速度采樣并保持的0.444Hz正弦波，從中可看到具有衰減峰值的長段。

0.444Hz信號仍然存在，但由于某些能量已移至較高頻率的“圖像”中，因此其水平已經(jīng)降低了，如圖3所示。可以看到輸入信號的單個傅立葉分量會比輸出信號中0.444Hz分量的值高3dB。

圖3：以每秒1個樣本的速率采樣并保持的0.444Hz正弦波的頻譜圖，表明原始信號中的某些能量如何分布在多個圖像上。

得出的結(jié)論是，采樣正弦波的峰峰值不是衡量基頻所含能量的好方法。相反，隨著輸入頻率的增加，輸出信號中的能量會越來越多地逐漸駐留在這些較高頻圖像分量上——這些分量是我們通常試圖濾除的污物，以便獲得良好的干凈輸出信號。因此就出現(xiàn)了滾降。

請注意，專為音頻市場設(shè)計的現(xiàn)代DAC不會出現(xiàn)這個問題。這是因為它們每個樣本不只更新一次，然后保持信號。它們在轉(zhuǎn)換器的內(nèi)部深處運行得更快，然后運用數(shù)字濾波技術(shù)來產(chǎn)生輸出，這樣在偶然檢查中就完全看不到被采樣的現(xiàn)象。獲得具有超平坦頻率響應(yīng)的音頻DAC非常容易，這也讓工程師容易忘記“老式”采樣DAC不具有這種平坦響應(yīng)特性。

這就是我們系統(tǒng)輸出部分的“原因”。當(dāng)我們在數(shù)字域中分析數(shù)據(jù)而沒有回到模擬狀態(tài)時，輸入通路是否還會導(dǎo)致可能檢測到的滾降？好吧，是的，有時候可以。讓我們看看這種情況。

如果使用的是采樣ADC，那么答案通常是“不用擔(dān)心”。這種ADC會在短暫的時間“縫隙”內(nèi)拍攝輸入信號的快照。通常，這個縫隙比兩次采樣之間的時間要窄得多，因此它對頻率響應(yīng)的影響不明顯。但是，如果使用的是針對工業(yè)儀器儀表應(yīng)用的Δ-Σ ADC，則滾降的幅度可能會超出預(yù)期。

Δ-Σ ADC具有滾降頻率響應(yīng)的原因在于，它們用來平滑其前端“調(diào)制器”中快速脈沖流的均值濾波器，具有與上述零階保持器類似的脈沖響應(yīng)。實際上，在任何給定的頻率下，響應(yīng)的滾降通常會惡化2至4倍。這是因為所使用的濾波器通常至少實際上是兩到四個均值濾波器的級聯(lián)。

例如，對于我在高性能應(yīng)用中使用多年的賽普拉斯PSoC3和PSoC5器件中的Δ-Σ ADC來說，該ADC的抽取濾波器具有四個級（在其大部分范圍內(nèi)），因此具有sinc4（）響應(yīng)。因此，在任何給定信號頻率下，它的滾降幅度都是圖1所示的四倍（以dB表示）。換句話說，它在0.443倍fs時為-12dB。當(dāng)你真正想要的只是簡單的稱重時，這樣大的頻率響應(yīng)平坦度偏差就無關(guān)緊要。但是對于大多數(shù)音頻、通信和振動測量系統(tǒng)來說，這就非?？膳铝?。這個偏差在你把數(shù)字信號送到DAC，產(chǎn)生額外的滾降信號之前就已有之。

不過，這種響應(yīng)效應(yīng)也有好的一面。圖1表明，sinc（）響應(yīng)在fs的約1.43倍處“反彈”至約13.3dB。這提醒我們，簡單的平均器對于消除高頻變化來說并不是很好的濾波器。但是，如果將四個平均器串聯(lián)起來獲得sinc4（），則得到的阻帶響應(yīng)僅會反彈至53dB左右，如圖4所示。這是非常有用的濾波，通常對于在沒有太多高頻干擾的時域中進行精確測量已經(jīng)足夠了。

圖4：PSoC3 ADC抽取濾波器的sinc4（）響應(yīng)的“反彈”比簡單的平均器要低得多。

因此，當(dāng)需要平坦的頻率響應(yīng)而又確實必須使用保持DAC、Δ-Σ儀表ADC或同時使用兩者時，該怎么辦？現(xiàn)在你應(yīng)該能夠預(yù)料，推薦的解決方案涉及一個濾波器，結(jié)果不會讓你失望的！
編輯：hfy